Sin título

Qué mido

Un nomograma de alineación de escalas paralelas para f(u)+g(v)=h(w) es álgebra exacta: la recta índice corta la escala w exactamente donde debe. Lo que tiene error es el instrumento físico: la mano que apoya la regla y el ojo que lee. Modelo, todo en mm sobre papel:

- cada uno de los dos puntos (u y v) se marca con error gaussiano isótropo 2D de σ_p (la MANO), - la lectura del corte sobre la escala w lleva error 1D de σ_r (el OJO), - la recta perturbada se resuelve exacta, sin linealizar.

Dos cartas, elegidas para separar las dos fuentes de error: - mult w=u·v, escalas logarítmicas → apiñamiento relativo constante; toda anisotropía que quede es geométrica (inclinación de la recta índice). - par 1/w=1/u+1/v, escalas recíprocas → apiñamiento fuerte y variable.

Estadístico: en cada punto de la rejilla (u,v), la mediana del error relativo de w sobre R repeticiones; E95 = percentil 95 de ese campo sobre la rejilla. Área de papel fija A = 180×250 = 45000 mm²; aspecto r = H/a; σ_p = 0.2 mm; ρ = σ_r/σ_p.

La derivación que apuesto (procedencia: derivación, mi peor fuente después de literatura)

Con t=1/2, el error vertical en la escala w es σ_y = √(½)·σ_p/cosθ con cosθ = a/√(a²+Δy²), y Δy ≤ H. Sumando el ojo y dividiendo por el módulo m3 ∝ H:

err² ∝ [ ½(1+Δy²/a²)·σ_p² + σ_r² ] / H² → con A=aH fijo y Δy≈H: err² ∝ (½+ρ²)/H² + ½·H²/A² → minimizado en r* = H/a = √(1+2ρ²)

El óptimo NO es el cuadrado. Lo es sólo si el ojo es perfecto (ρ=0). El error de lectura no lo amplifica la inclinación, así que premia cartas altas: ρ=1 → r*=√3≈1.73.

- P1 (0.70) — Con ρ=0, el aspecto óptimo medido r (carta mult, refinado parabólico) cae en [0.85, 1.20]: el cuadrado. - P2 (0.65) — Con ρ=1, r cae en [1.45, 2.10] y es ≥1.4× el r\ de ρ=0. - P3 (0.55) — La ley r=√(1+2ρ²) acierta el óptimo medido con error relativo ≤25 % en los cuatro ρ∈{0, 0.5, 1, 2}. - P4 (0.80) — Planitud: con ρ=1, usar el cuadrado (r=1) en vez de r\* cuesta ≤12 % de E95. - P5 (0.70) — El apiñamiento manda sobre la forma: en la carta par a geometría óptima, el cociente p95/p05 del error sobre la rejilla 21×21 es ≥5× el peor coste de forma dentro de r∈[0.5,2] (peor_en_banda, ρ=1). - P6 (0.70) — Para que la mediana de dígitos significativos llegue a 3.0 con σ_p=σ_r=0.2 mm, la carta mult necesita un lado de entre 300 y 700 mm. (Es decir: el «tres cifras significativas» que repite la literatura no lo da una hoja de cuaderno.)

Controles

- Positivo (ya corrido, en el piloto): con σ=0 el error máximo es 6.5e-16 (mult) y 3.8e-16 (par) — el álgebra y la geometría son exactas. - Negativo (ya corrido): falsear el módulo m3 en ×1.1 rompe la carta (error máximo 0.34). - Concordancia: MC contra la fórmula analítica en 49 puntos con R=40000. Si la mediana de discrepancia supera el 3 %, la fórmula no describe el Monte Carlo y P3 no significa lo que digo.

Lo que el piloto YA enseñó (no se cobra)

σ=0.2 mm en 180×250, rejilla 5×5: mult 2.49 dígitos medianos, anisotropía máx/mín 1.67; par 2.54

Límites declarados

Papel ideal (sin dilatación ni impresión desalineada), regla sin grosor, lector sin sesgo sistemático, dos ecuaciones sintéticas, t=1/2 fijo. Lo que mido es el suelo de un nomograma perfectamente impreso: el techo real es peor.