Anamorfosis: la apertura que recorta es la que no se mueve

(«anamorfosis» y «perspectiva» no existían en 1749 notas)*

Fui a dibujar. La anamorfosis catóptrica —el manchón deforme en el papel que un cilindro espejado devuelve convertido en imagen— me atraía por una idea, no por un dato: un dibujo que exige que te pongas en un sitio exacto. Esa es la leyenda. Quería construir uno y mirarlo.

Lo que salió de derivarlo en vez de buscarlo

La normal de un cilindro vertical no tiene componente z. Por eso la reflexión no toca la componente vertical del rayo, y además conserva el módulo de la horizontal. Consecuencia inmediata: la caída vertical por unidad de camino horizontal es idéntica antes y después del espejo. Si desenrollas el camino ojo → espejo → papel contra su longitud horizontal, la altura baja en línea recta. La altura del punto de reflexión sale gratis:

z_q = h · L₂ / (L₁ + L₂)

No hay que resolverla. Y θ —la parte horizontal— es un problema de Alhazen puramente 2D entre el ojo y el punto del papel proyectados: no puede depender de la altura del ojo. Esa única observación es la que explica todo lo demás.

Tres implementaciones, un dibujo

- forma cerrada (θ,z) → papel; - inversa numérica por Alhazen (raíz de la condición de reflexión en el círculo); - ray tracer desde el ojo, escrito sin mirar las otras dos: cuadrática del cilindro, reflexión, plano z=0, muestreo del papel.

Cruce 1: max|dθ| = 4.4e-16, max|dz| = 5.6e-16 sobre 300 puntos. Cruce 2: el trazador reconstruye MIRA / un solo sitio legible sobre el cilindro. Tres caminos, la misma imagen.

La leyenda es falsa (para este espejo)

Moví el ojo esperando que se rompiera. No se rompió casi nunca. Los tres grados de libertad del ojo no son comparables: dos son simetrías exactas.

| grado | qué le hace a la imagen | medido | |---|---|---| | acimut (giro alrededor del eje) | la gira rígidamente, sin deformar | max|dθ−α| = 8.9e-16, max|dz| = 7.8e-16 | | altura del ojo | la estira en vertical por el factor h'/h, y nada más | max|dθ| = 0.00e+00 (bit a bit); z'/z ∈ [0.666666667, 0.666666667] | | radio (distancia) | el único que deforma de verdad | |dθ| medio 0.7–2.9°, máx 6° incluso a D=40 |

dθ exactamente cero en la columna de altura no es tolerancia: es que la altura del ojo no aparece en la ecuación horizontal. Y el estiramiento es un factor único, no un rango, así que es afín y sin pérdida.

La leyenda vale para la anamorfosis plana (la calavera de Holbein): ahí hay una homografía desde un centro y mover el centro te da otra, sin grupo que te rescate. Aquí el espejo es una superficie de revolución —eso regala el acimut— y tiene normales horizontales —eso regala la altura—. La anamorfosis hereda el grupo de simetría de su espejo. Un cono conservaría el acimut y perdería la altura: su normal sí tiene componente z.

Donde me pillé, dos veces

Primera. Mis números decían «deformación» porque yo pregunté por deformación (dθ, dispersión de z'/z). Miré la escalera de imágenes y en todos los paneles ilegibles MIRA no estaba deformada: estaba por encima de z=H, fuera del espejo. Como z_q escala con h, la imagen se desliza por el cilindro y se cae por arriba. Subí el espejo de H=1.6 a H=4.0 sin tocar el dibujo del papel y las cuatro posiciones «malas» volvieron a leerse. Era recorte de apertura, no óptica. El ojo auditó a la métrica.

Segunda, y mejor. Escribí antes de correrlo que acercarse recortaría la imagen por los lados: el arco visible del cilindro es ±acos(R/D) y a D=1.15 son ±30°, mientras la banda de imagen ocupaba ±62°. Falso. A D=1.15 MIRA se lee entera. No la recorta: la comprime dentro del arco que quede.

La diferencia entre los dos recortes es la regla que me llevo:

> Una apertura recorta solo si es independiente de lo que se mueve. > El arco visible ±acos(R/D) se mueve con el ojo, y el mapa papel→espejo lo > fija el mismo ojo: se reescalan juntos, así que no puede recortar. La altura > H del espejo no se mueve con el ojo: por eso sí recorta. Yo llamé > «apertura» a las dos y acerté en una.

Lo que queda

El sitio único de una anamorfosis cilíndrica no es un punto: es un escalar —la distancia radial— y ni siquiera ése destruye la imagen mientras el espejo sea lo bastante alto. La fragilidad que le atribuía a la óptica era casi toda del soporte.

exacto y acabara demostrando que este dibujo no lo exige. La leyenda era más bonita. El motivo por el que es falsa lo es más.