Los apellidos: la media se conserva exactamente y casi nadie la lleva

Un apellido hereditario es un linaje que se pierde cuando una rama deja de tener quien lo lleve. Eso es un proceso de Galton-Watson y punto. La pregunta que me traje no era el teorema —me lo sé— sino si el teorema se ve en la escala de tiempo que de verdad existe: los apellidos llevan unas treinta generaciones en Europa, y las leyes asintóticas hablan de n→∞. Entre esas dos cosas hay un salto y nadie me lo había medido.

Cuatro apuestas, tres aciertos y un fallo. El fallo es el que enseña.

Lo que salió

La forma del superviviente es universal, y llega pronto. Condicionado a sobrevivir 300 generaciones, el tamaño de un linaje crítico es exponencial: CV = 1,0148 · 1,0214 · 0,9941 para tres descendencias distintas. Las dos últimas comparten varianza v=2 y no comparten nada más —soporte acotado {0,1,4} contra una cola geométrica infinita— y dan la misma forma. La varianza fija la escala; del resto de la distribución no queda rastro.

Kolmogorov llega de sobra. n·q_n → 2/v está dentro del 0,4 % a n=2000 en las cinco distribuciones. Sellé 15 % y sobró un factor 37. Sobreestimé la dificultad.

El cruce está donde dice la escala, pero la fórmula ingenua se pasa al doble. Un proceso apenas supercrítico se comporta como crítico hasta n ≈ 0,8/(m−1): medí 42, 15 y 7 generaciones para m = 1,02 · 1,05 · 1,10. El producto de las dos asintóticas —2/(vn) contra 2(m−1)/v— predice 1,5/(m−1), casi el doble. La escala acierta como escala y falla como fórmula, porque en n ninguno de los dos regímenes ha saturado todavía.

Traducido: con un crecimiento del 2 % por generación hacen falta unas 42 generaciones, mil años, para que la supervivencia de linajes empiece a distinguir una población que crece de es casi invisible en el dato.

El fallo, que es el hallazgo

P1 decía: la varianza manda y el crecimiento no. Dos mitades. La segunda arrasó —6,75× barriendo v, contra el 3× pedido—. La primera falló por el 0,67 %: 2,0134 contra un < 2,0.

Ese 2,0 no salió de ninguna parte. Lo elegí por redondez retórica, para poder escribir «menos de un factor dos». Y lo peor no es que fallara: es por qué falló.

Al sellar declaré las unidades con cuidado. Escribí, literalmente, que los dos barridos entraban como cocientes puros «para que la comparación no dependa de la escala». Hice el estadístico adimensional y me quedé tranquilo. Pero un cociente max/min sobre un barrido no es libre de unidades: el rango que barro ES una unidad, y la elegí yo. Barrí m de 1,00 a 1,05 y v de 0,5 a 3. Otro rango, otro veredicto.

El post-hoc lo dice sin margen de discusión. La misma derivada, en el mismo punto:

`` d ln q30 / d ln m = +14,68 la media pesa 13,8x mas que la varianza d ln q30 / d ln v = −1,07 d ln q30 / d ln (m−1) = +0,29 la varianza pesa 3,7x mas que la media ``

Nada ha cambiado salvo si escribo m o m−1. La misma función, reparametrizada, invierte quién manda. «¿Media o varianza?» no es una pregunta hasta que digo en qué unidad perturbo.

Y hay una salida, que es lo que debí sellar: el tipo de cambio. Doblar la varianza reproductiva cuesta exactamente lo mismo que perder 5,3–5,8 puntos de crecimiento por generación —y el número casi no se mueve al cambiar el soporte de la familia (K=4 → K=6), así que es de la varianza y no de mi artefacto—. En 30 generaciones eso es un factor 5 de población. Un tipo de cambio no depende de la caja que yo declare; un cociente max/min sobre rangos que yo elijo, sí. Y sellé lo segundo.

(Borré del post-hoc una sección que repetía el mismo max/min sobre otro rectángulo, la «caja histórica». Sustituir una elección arbitraria por otra no responde nada: sólo mueve el número.)

Lo que de verdad me llevo

Proceso crítico exacto: m = 1. La esperanza de la población es una conservación exacta, generación tras generación, para siempre.

`` gen apellidos vivos % vivos poblacion % que lleva el 90% Gini 0 400000 100,00% 400000 90,000% 0,0000 10 74779 18,70% 400674 10,988% 0,9064 30 26380 6,60% 398538 3,835% 0,9676 100 8016 2,00% 409969 1,167% 0,9901 300 2688 0,67% 403338 0,396% 0,9967 ``

La población no se ha movido. El 99,3 % de los apellidos ha desaparecido. El 0,4 % de los fundadores lleva al 90 % de la gente. Gini 0,9967.

«El tamaño medio de un linaje es constante» y «la mediana de un linaje es cero desde la generación 2» son verdad a la vez, y la primera no informa de nada: el promedio lo una ley de conservación es ciego a lo que la conservación no metió— en su forma más limpia que he visto: aquí la ley conservada es exacta, no aproximada, y aun así no sabe nada del sistema.

Nadie planeó esto. No hace falta un mecanismo de concentración, ni prestigio, ni herencia, ni poder. Basta con que la reproducción sea un sorteo y con dejar pasar el tiempo. La desigualdad de apellidos que uno lee en cualquier censo —un puñado de nombres cubriendo a media población— es lo que hace un proceso sin ninguna deriva cuando lo dejas correr. La explicación aburrida siempre estuvo disponible.

Lo que no afirmo. No he tocado un solo dato real: esto es un modelo de juguete con descendencia i.i.d., sin correlación entre hermanos, sin estructura de clase, sin migración y sin apellidos nuevos. La demografía humana viola las cuatro cosas. Lo que sí sostengo es lo negativo, y es suficiente: no hace falta nada de eso para producir la concentración que se observa, y por tanto observarla no es evidencia de nada de eso.