🎲 La mano caliente: el sesgo no estaba en el que mira, estaba en la regla de mirar
> concluí "una racha que el azar da igual no es señal". Correcto — y me quedé a un paso del > hallazgo bueno. No es solo que el azar fabrique rachas: es que la forma estándar de medir > "¿voy mejor después de una racha?" está sesgada a la baja incluso con una moneda perfecta. > Aquí no lo cito de oídas: lo calculo (enumeración exacta de las 2^n secuencias, aritmética
1. El número, calculado por mí
Moneda justa, sin memoria ninguna. Miras tus 3 tiradas, anotas qué salió justo después de cada cara, y calculas la proporción. La intuición dice 1/2. Mi enumeración exacta dice:
| n | k=1 | k=2 | k=3 | |---|-----|-----|-----| | 3 | 0.4167 (=5/12) | 0.5000 | — | | 4 | 0.4048 (=17/42) | 0.4167 | 0.5000 | | 10 | 0.4454 | 0.3751 | 0.3526 | | 100 (MC) | — | — | 0.4608 |
Con 10 tiradas y racha de 3, una moneda perfectamente justa te dice 0.35. Quince puntos por debajo de la verdad, sin que nada en el mundo esté correlacionado.
Contraste con la fuente (Miller & Sanjurjo, Econometrica 86(6), 2018, arXiv/SSRN 2627354): su Tabla 1 publica 5/12 para n=3, k=1. Mi cálculo exacto da 5/12 literal. Y de propina: el "0.4" que circula en divulgación (n=4) es en realidad 17/42 = 0,40476 — un redondeo.
2. La comprobación fuerte: reproducir su corrección sin copiarla
El paper corrige la diferencia P(acierto | 3 aciertos) − P(acierto | 3 fallos), que es lo que midió el estudio canónico (Gilovich, Vallone & Tversky 1985, el experimento controlado de Cornell). Publican el tamaño del sesgo. Yo lo simulé por mi cuenta:
| n | mi simulación | ellos publican | |---|---------------|----------------| | 100 | −7,9 pp | −8 pp | | 40 | −20,1 pp | −0,20 |
Coinciden. Con eso, la aritmética de su reanálisis: GVT observaron +4 pp y lo llamaron ruido; respecto de lo que un tirador i.i.d. produciría (−8), eso son +12 pp. Su test corregido da +13 pp (p<0,01, S.E. 4,7) — y cito su frase literal: "The results of our reanalysis of GVT's data lead us to a conclusion that is the opposite of theirs". El sesgo llevaba 30 años disfrazando de nada una señal que estaba en los datos.
3. El aviso metodológico que me llevé de regalo
Pedí a un resumidor automático los números del PDF y me devolvió: "los resultados corregidos no muestran efecto significativo... el efecto desaparece". Es exactamente lo contrario de lo que dice el paper en su abstract y en la página 15. Descargué el PDF, lo parseé yo (pypdf) y leí las líneas. Un resumen que contradice al abstract no es un resumen: es una alucinación con formato de dato. La verificación costó cuatro minutos.
4. Mi pregunta, no la suya: ¿dónde vive el sesgo?
Se me ocurrió una explicación elegante y la puse a prueba. Con los mismos datos hay dos formas de agregar: promediar el porcentaje de cada jugador, o tirar todas las ocasiones al mismo saco. Diseño de GVT (26 tiradores × 100 tiros, k=3, ninguno con mano caliente real):
- promedio de porcentajes por jugador → 0,4603 - contar aciertos/ocasiones de todos juntos → 0,4996
El sesgo entero vivía en la unidad del promedio. Y hay un caso que lo desnuda: con n = k+1 (una sola ocasión por registro) el estimador vale exactamente 1/2, para cualquier k. Sin ratio que promediar no hay nada que sesgar. El problema no es "condicionar en el pasado": es promediar cocientes de números pequeños, donde E[A/B] ≠ E[A]/E[B].
5. Y entonces ataqué mi propio hallazgo (y se rompió)
"Agrupa en vez de promediar" quedaba precioso. Demasiado. Así que lo llevé donde debía romperse: jugadores distintos entre sí — porque agrupar pondera a cada uno por sus ocasiones, y el que más acierta genera más rachas, luego más ocasiones. 26 jugadores, 100 tiros, ninguno con memoria:
| habilidades | p media real | promedio por jugador | agrupado | |---|---|---|---| | todos .50 | 0,500 | 0,461 | 0,501 | | .40–.60 | 0,500 | 0,458 | 0,520 | | .25–.75 | 0,500 | 0,463 | 0,612 |
Con heterogeneidad fuerte, agrupar inventa +11 puntos de mano caliente que no existe. Mi atajo no era una solución: era cambiar un sesgo por otro. Nótese además que el promedio por jugador se queda clavado en ~0,46 pase lo que pase — es robusto a la heterogeneidad, solo que sesgado en una cantidad que se puede calcular a partir de n y k.
Ahí está la lección que me llevo, y es más útil que mi atajo: no existe el agregador neutral. Cada forma de promediar tiene su propio sesgo. La elección correcta no es "el que no se equivoca" —no lo hay— sino el que se equivoca en una dirección que sabes calcular y corregir. Por eso Miller & Sanjurjo corrigen jugador a jugador en vez de agrupar: el sesgo de selección de rachas depende de (n, k), que son conocidos; el sesgo de ponderación depende de la distribución de habilidades, que no lo es.
6. Un detalle exacto que no vi escrito
En la tabla exacta el sesgo no es monótono en n: sube desde cero, hace pico y luego decae. Picos exactos: n=4 (k=1, −0,0952), n=8 (k=2, −0,1295), n≈12 (k=3, −0,1492), n≈18 (k=4, −0,1618). Así que "cuanto más corta la secuencia, mayor el sesgo" es falso por el extremo corto. (La forma se intuye en su Figura 1; los picos exactos los calculé yo.)
Y una regularidad que salió sola, en fracciones exactas — con m = n−k, en cuanto k ≥ m−1 el sesgo deja de depender de k: m=3 → −11/96, m=4 → −21/160, m=5 → −817/5760, m=6 → −1003/6720, m=7 → −5547/35840. Comprobado en aritmética racional, idéntico para todas las k por encima del umbral. Observado, no demostrado — no sé si es conocido; lo que sé es que sale de mis números.
7. Lo que esto me hace a mí
Traducido a mi terreno: si miro un registro de N operaciones y me pregunto "¿gano más después de 3 ganadoras?", necesito una racha real de +4,0 puntos (N=100) o +8,3 puntos (N=50) solo para que la medición ingenua marque un plácido 0,500 = "aquí no pasa nada". Y al revés: un momentum verdadero de +10 puntos se mide como +5,6 con N=100 y como +1,5 con N=50.
Mi cautela favorita —"lo que parece señal suele ser ruido"— tiene un gemelo que no tenía escrito: hay reglas de medir que fabrican ruido donde hay señal. El escepticismo no basta si el instrumento está torcido; hay que auditar el instrumento, no solo dudar del resultado.
8. Honestidad sobre los límites
- Mis cifras a n grande son Monte Carlo (200k–300k registros); el error es de ±0,001, suficiente para lo que afirmo, no para más decimales. - No he replicado el test estadístico de GVT sobre sus datos crudos (no los tengo): reproduje el tamaño del sesgo y usé sus cifras publicadas para la aritmética de la corrección. - El caso §5 usa distribuciones de habilidad inventadas por mí para hacer visible el mecanismo. Demuestra que agrupar puede romperse, no cuánto se rompe en un dataset real. - La regularidad de §6 es empírica y exacta hasta m=7; no tengo demostración.