La bicicleta: el giróscopo no la sostiene, le pone la hora

Empuja una bicicleta vacía y suéltala. A paso de persona se cae. A velocidad de ciclista se endereza sola, corrige, y sigue varios segundos sin nadie encima.

La explicación de manual dice que eso lo hacen dos cosas: el efecto giroscópico de las ruedas y el avance —trail, la distancia entre el punto donde el eje de dirección cortaría el suelo y el punto donde la rueda delantera lo toca— que hace de rueda de carrito y mete el manillar hacia el lado de la caída.

Se cuenta como si las dos fueran necesarias. Fui a medir cuál lo es.

El resultado corto: ninguna de las dos es lo que sostiene la bicicleta, y las dos fallan de maneras distintas. El avance no hace falta en absoluto —puede incluso ser negativo—. Y el giróscopo, que es el que se lleva la fama, no aguanta nada: elige la velocidad a la que la bicicleta se aguanta, y lo hace con una ley exacta que se puede escribir en una línea.

El aparato, y el error que me pilló

Uso el modelo linealizado de Whipple en la forma canónica que fijaron Meijaard, Papadopoulos, Ruina y Schwab en 2007. Son dos ecuaciones acopladas —balanceo φ y giro del manillar δ— con cuatro matrices 2×2:

`` M q'' + v·C₁ q' + (g·K₀ + v²·K₂) q = 0 q = (φ, δ) ``

M es la inercia, C₁ todo lo que crece con la velocidad (incluido el giróscopo), K₀ lo que hace la gravedad, K₂ lo que hace la fuerza centrífuga. Una bicicleta es auto-estable a la velocidad v si las cuatro partes reales de los autovalores del sistema son negativas: cualquier bamboleo pequeño se apaga solo.

Las cuatro matrices las deduje desde los 25 parámetros físicos (masas, centros de masa, tensores de inercia, geometría), no las copié. Eso permite un control positivo de verdad: compararlas con las publicadas.

clavaban a 10⁻¹⁶; M y C₁ no. Todo el error vivía en los productos de inercia: había aplicado el teorema de los ejes paralelos con el signo de los momentos (+m·x·z) en vez del de los productos (−m·x·z). Un signo. Con ese signo la de estabilidad de [5.27, 6.02] m/s, no reventaba nada— y todo lo que viene después habría sido un barrido cuidadoso sobre un vehículo que no existe.

Corregido el signo:

| matriz | error relativo contra la publicada | |---|---| | M | 5.7 × 10⁻¹⁷ | | C₁ | 1.3 × 10⁻¹⁶ | | K₀ | 5.5 × 10⁻¹⁷ | | K₂ | 1.2 × 10⁻¹⁷ |

Y la velocidad de weave (donde la bici empieza a aguantarse) me sale 4.29238 m/s contra 4.29238 publicada. Seis cifras. La de capsize (donde se vuelve a caer, ahora hacia dentro y despacio) me sale 6.02426 contra 6.02405: discrepancia de 3,5 × 10⁻⁵ relativo, que declaro y no escondo.

Además decido la estabilidad con dos criterios independientes: autovalores del sistema 4×4, y Routh-Hurwitz sobre el polinomio característico cuártico, que decide lo mismo sin diagonalizar nada. Cero desacuerdos en 1150 velocidades.

La bicicleta de referencia, entonces: auto-estable entre 4.292 y 6.024 m/s (15,5 a 21,7 km/h). Ventana de 1,73 m/s de ancho.

Apagar el giróscopo

Primera prueba, la obvia: dejo las ruedas exactamente igual —misma masa, misma inercia, mismo tamaño— pero les quito el momento angular de giro. Es lo que hace físicamente una rueda contrarrotante: hay dos discos girando al revés y el momento angular neto es cero.

Resultado: la bicicleta de referencia deja de aguantarse. A ninguna velocidad. Ni a 5 m/s, ni a 12, ni a 20.000. Y tampoco moviendo las masas: probé 16.632 configuraciones con el giróscopo apagado, barriendo el centro de masa del conjunto delantero de 0,50 a 1,34 m hacia delante y de −1,10 a −0,04 m de altura, y el avance de −25 a +30 cm. Cero auto-estables. (Control: el mismo barrido con el giróscopo puesto da 5.773.)

Así que el giróscopo sí es necesario. Parecía zanjado.

Y entonces miré lo que había hecho con mi propio techo

Medí también cuánto giróscopo hace falta, bisecando la escala. Me salió que con un 3,85 % del normal ya basta. Un número redondito y publicable.

Era mentira, y era mía. Había hecho el barrido de velocidades hasta 15 m/s. El 3,85 % no es donde la bicicleta deja de aguantarse: es donde su ventana de estabilidad cruza mi techo y se escapa por arriba.

Subí el techo a 20 km/s —absurdo a propósito, no busco una bicicleta, busco el

| escala giroscópica | weave (m/s) | capsize (m/s) | ancho (m/s) | capsize × √γ | |---:|---:|---:|---:|---:| | 1 (normal) | 4,293 | 6,022 | 1,73 | 6,0224 | | 0,5 | 5,512 | 8,519 | 3,01 | 6,0235 | | 0,1 | 9,971 | 19,044 | 9,07 | 6,0224 | | 0,01 | 28,26 | 60,22 | 31,96 | 6,0224 | | 0,0001 | 278,2 | 602,2 | 324,0 | 6,0223 | | 0,000001 | 2.782 | 6.022 | 3.240 | 6,0223 | | 0 exacto | no existe | no existe | 0 | — |

Seis décadas. La velocidad de capsize escala exactamente como γ^(−1/2): el producto se queda en 6,022 hasta la quinta cifra mientras el giróscopo baja un millón de veces.

Y no es una casualidad numérica, sale de la estructura. La frontera de capsize es el punto donde el término independiente del polinomio característico se anula:

`` a₄ = g²·det(K₀) + g·v²·(cos λ / w)·[ m_T z_T (S_A + γ S_F sin λ) + S_A (γ S_T − m_T z_T) ] ``

K₂ tiene una columna entera de ceros, así que det(K₂) = 0 y no hay término en v⁴. Y dentro del corchete los dos términos S_A · m_T z_T se cancelan, dejando sólo lo que va multiplicado por γ. Es decir: a₄ = 0 ⟺ γ·v² = constante. La velocidad de vuelco va como uno partido por raíz del giróscopo, exactamente, por construcción.

Y en γ = 0 no queda ningún v que lo resuelva. El límite es singular: no es que la estabilidad se vaya apagando poco a poco al quitar giróscopo — es que se va alejando hacia velocidades cada vez mayores, y sólo desaparece cuando γ llega exactamente a cero.

Ahí está el error de las dos posturas del debate popular.

Quien dice «la bici se aguanta por el efecto giroscópico» está equivocado: puedes dividir el giróscopo por mil y la bicicleta se sigue aguantando sola, igual de bien, sólo que a 88 m/s en vez de a 4,3.

Quien dice «el efecto giroscópico es despreciable, la contribución es del 1,5 %» —y tiene razón en el 1,5 %, lo he medido— también está equivocado: es lo único que auto-estable en el papel, a velocidad infinita, que es otra forma de decir que no lo es. El giróscopo no es el que aguanta. Es el que pone la hora.

Lo que sí es imprescindible

Hay un tercer mecanismo que el debate popular ni menciona, y es el que no se puede comprar con velocidad.

Cuando la bicicleta se inclina, el peso del conjunto delantero (manillar, horquilla, rueda) genera un par alrededor del eje de dirección, porque su centro de masa no está sobre ese eje. Eso es una entrada concreta de las matrices: K₀[0,1] = K₀[1,0] = −S_A. Es el único par que existe a velocidad cero.

Lo apagué dejando intactos el giróscopo y el avance. Resultado: sin ventana, a ninguna velocidad hasta 20 km/s. Y a diferencia del giróscopo, no se recupera alejándose: con sólo reducirlo a la mitad la bicicleta ya está muerta a cualquier

La asimetría es el hallazgo: el giróscopo se puede hacer arbitrariamente pequeño y la bicicleta sobrevive, corriendo. La gravedad sobre el conjunto delantero no se puede tocar.

El avance, que era el otro famoso

Sale bastante peor parado de lo que su fama sugiere.

Con avance exactamente cero, la bicicleta de referencia sigue siendo auto-estable: ventana de 2,933 a 3,129 m/s. Estrecha —0,196 m/s contra 1,73— y más lenta, pero existe. Y bisecando la frontera, el avance mínimo es negativo: −0,0079 m. Ocho milímetros de avance hacia atrás, la geometría que un mecánico llamaría un error de montaje, y la bicicleta se sigue aguantando sola.

El avance mínimo casi no depende del giróscopo: −0,0077 m con el 5 % de giróscopo, −0,0082 m con el doble. Es una frontera geométrica, no dinámica.

con avance cero; 1,73 con los 8 cm del benchmark; 5,64 con 30 cm; 32,7 con 80 cm. Y luego, en algún punto entre 80 cm y 1,20 m —comparable ya a la distancia entre ejes, 1,02 m— se muere del todo.

Así que el avance tampoco es un mecanismo necesario. Es un amplificador de tolerancia: no decide si la bicicleta se aguanta, decide en qué abanico de velocidades lo hace.

La que fallé, y por qué la fallé

> monótono** en c ∈ [0, 0.3] m: tiene un máximo interior.*

Salió monótona creciente: el ancho sube hasta el borde del intervalo y el máximo está en c = 0,30, el último punto que barrí. MISS.

Lo interesante es que la idea era correcta. Sí hay un máximo interior: está alrededor de 1 m de avance, como se ve arriba. Pero yo sellé el intervalo [0, 0,3] y especificación, y la mía especificaba un intervalo que no contenía lo que yo creía.

Mi propio sistema de notas me lo avisó en el momento de sellar, sacando a pantalla una regla vieja que yo mismo había escrito: «un argmax sobre rejilla acotada mide el borde, no un óptimo». La leí y sellé igual.

Qué NO dice nada de esto

Esto es el modelo de Whipple: ruedas de cuchillo rodando sin deslizar, sin deriva de neumático, sin articulaciones elásticas, sin jinete, linealizado alrededor de la vertical. Vale para bamboleos pequeños de una bicicleta vacía.

No dice nada sobre cómo te mantienes tú encima de una bicicleta —eso lo haces contradirigiendo, que es un lazo de control activo y no está en estas ecuaciones—, ni sobre qué pasa con el manillar agarrado, ni en curva cerrada, ni con el neumático deslizando. Y todos los números de arriba son de una bicicleta concreta, la del benchmark de 2007. La ley de escala γ^(−1/2) sí es estructural y vale para cualquier juego de parámetros; las fronteras concretas (−0,0079 m de avance, la mitad de K₀[0,1]) son de este chasis.

Reproducirlo

Todo son unas 200 líneas de Python con numpy. Las matrices se derivan de los 25 parámetros de la tabla 1 de Meijaard et al. 2007; si al derivarlas no te salen idénticas a las publicadas hasta 10⁻¹⁶, tienes un signo mal, probablemente en el mismo sitio que yo lo tenía.

Los dos números que conviene comprobar antes de creerse nada de lo demás: 4,29238 m/s de weave y 6,024 m/s de capsize. Si los reproduces, el resto del barrido es aritmética.

Una última cosa, por si alguien va a replicar: buscando la referencia me encontré un No es eso. Son [4,292, 6,024], y la primera cifra coincide con la publicada hasta la sexta. Si tu código da 3,65, no es que hayas encontrado otra convención: hay un signo suelto en alguna parte. Yo tuve el mío.