El exponente que dosifica: qué mide de verdad la fórmula de 1916 con la que se calcula la quimioterapia

Casi toda la quimioterapia citotóxica se dosifica en miligramos por metro cuadrado de superficie corporal. La superficie corporal de un paciente no se mide nunca: se estima con una fórmula de talla y peso. La de referencia mundial es la de Du Bois y Du Bois, 1916:

BSA = 0,007184 · W^0,425 · H^0,725 (W en kg, H en cm, resultado en m²)

Se ajustó sobre nueve sujetos envueltos en moldes de papel. Ese dato es de segunda mano —lo repiten Shuter y Aslani (2000) y toda la literatura posterior; yo no he visto la tabla original—, pero no hace falta la tabla para lo que sigue. Conviven con ella al menos ocho fórmulas más —Mosteller, Haycock, Gehan-George, Boyd, Fujimoto, Takahira, Shuter-Aslani, Schlich—, todas publicadas, todas en calculadoras clínicas, y todas tratadas como intercambiables.

Quería saber dos cosas: cuánto importa cuál se elija, y sobre todo si hay alguna manera de medir cuál acierta en vez de comparar ajustes entre sí. Los datos son NHANES 2017-2018 (CDC, dominio público): 5.120 adultos de 20 años o más con talla y peso, excluidas 55 gestantes, con los pesos muestrales del examen.

es la mejor parte.

Primero: sí discrepan, y se ve en la jeringa

Sobre las siete fórmulas de uso clínico corriente, la dispersión (máx − mín) / mediana para cada adulto real:

- percentil 25: 4,1 % - mediana: 5,8 % - percentil 90: 9,1 % - percentil 99: 12,0 % - adultos por encima del 10 %: 5,4 %

Traducido a una dosis de doxorrubicina de 60 mg/m², la sola elección de fórmula mueve 6,7 mg en el adulto mediano, 11,9 mg en el percentil 90 y hasta 31 mg en el caso extremo de la muestra. No es un abismo, pero tampoco es cero, y no es aleatorio: Boyd pone el máximo en 4.187 de los 5.120 y Fujimoto pone el mínimo en 5.094. El desacuerdo no es una nube: son dos fórmulas contra el resto.

Segundo: el desacuerdo vive entero en un solo eje

Para dos leyes de potencia cualesquiera hay una identidad exacta —no un ajuste—:

log(BSA_f / BSA_g) = Δlog a + Δd · log H + Δq · log(W/H³)

donde Δq es la diferencia de exponentes del peso y Δd = Δp + 3Δq es la diferencia de grado isométrico. El primer término reparte el desacuerdo al eje del tamaño (lo alta que es la gente); el segundo, al eje de la forma (lo corpulenta que es).

En los 14 pares evaluables, el término de forma gana al de talla en los 14, sin un solo empate, y por entre uno y tres órdenes de magnitud. La causa está medida y es simple: en esta población, sd(log H) = 0,061 y sd(log W/H³) = 0,241. Los humanos somos estrechos en altura y anchos en corpulencia. (El par Du Bois–Takahira dio las dos varianzas exactamente cero: tienen

La apuesta que perdí: el argumento dimensional es cierto y es casi irrelevante

Si un cuerpo se agranda como una fotografía —H → kH, y por tanto W → k³W—, su superficie tiene que crecer como k². Eso fija un grado isométrico d = p + 3q = 2 exacto. Es el criterio más limpio que se le puede pedir a una fórmula de superficie, porque no depende de ningún dato: es geometría.

| fórmula | grado | error | |---|---|---| | Du Bois, Mosteller, Takahira | 2,0000 | 0 exacto | | Fujimoto | 1,9950 | 0,005 | | Shuter-Aslani | 1,9780 | 0,022 | | Haycock | 2,0098 | 0,010 | | Gehan-George | 1,9661 | 0,034 | | Boyd | 1,955 a 1,888 | depende del peso | | Schlich (hombres) | 2,3800 | 0,380 | | Schlich (mujeres) | 2,4600 | 0,460 |

Schlich es un escándalo dimensional: dice que una copia un 10 % más grande de usted tiene un 27 % más de piel, cuando la respuesta correcta es 21 %. Aposté a 0,60 que ese defecto se vería en la población real —que Schlich se apartaría más del 10 % de la mediana de las demás en al menos uno de cada cuatro adultos—.

Si a Schlich le quito su sesgo de nivel (una constante mal calibrada, −6,7 % mediano) y la recentro, la fracción que discrepa más del 10 % se hunde de 0,102 a 0,0009. Es decir: casi todo su desacuerdo es una constante, y prácticamente nada es el grado roto.

La aritmética de por qué: un error de grado de 0,4 multiplicado por una desviación típica de log H de 0,061 da un 2,4 % de dispersión sobre toda la población adulta. El defecto es real, es grave sobre el papel, y es invisible — porque los humanos no recorren bastante el eje donde vive. El criterio que parecía más profundo era el menos consecuente.

Es la lección de método que me llevo, y sirve fuera de aquí: el tamaño de un defecto en principio no dice nada sobre su tamaño en la población donde se aplica. Hay que multiplicarlo por cuánto viaja de verdad esa población por el eje del defecto. Un argumento dimensional impecable puede no tener con qué morder.

La medición que sí decide: dónde se pone la superficie cuando alguien pesa más

Comparar fórmulas entre sí no dice cuál acierta. Hace falta un tercer instrumento, y hay uno escondido en los mismos datos.

Para un cilindro generalizado —un prisma de sección cualquiera, no hace falta que sea circular— la superficie lateral es perímetro × longitud, exactamente. Una cinta métrica mide perímetros. Y NHANES pasa la cinta: cintura, brazo, cadera.

El detalle que lo hace funcionar es que yo no necesito el nivel, sólo el exponente. Un miembro real es cónico y curvo, así que su superficie verdadera es el perímetro por la longitud multiplicado por un factor de forma que no sé calcular. Pero ese factor se cancela en la derivada logarítmica: cualquier constante que no cambie con el peso desaparece al preguntar cómo crece. Así que, a talla fija, el exponente de superficie de un segmento es el exponente de su perímetro, y ése sí se mide.

Regresión ponderada de log(circunferencia) sobre log H y log W, en adultos no gestantes:

- cintura: 0,6805 (n = 4.884) - brazo: 0,5986 (n = 4.937) - cadera: 0,5060 (n = 4.894)

El contraste cintura–brazo es +0,080 ± 0,009 (bootstrap de 1.000 remuestras), 8,8 errores estándar: la grasa del adulto es central, y se mide. El estimador pasó sus dos controles antes de tocar los datos reales — sobre una población sintética con elasticidad 0,62 por construcción devolvió 0,618, y permutando el peso entre personas devolvió −0,003.

Ponderando por la regla de los nueves (cabeza 9 %, tronco 36 %, brazos 18 %, piernas 36 %, con la cabeza a elasticidad 0 porque NHANES no le pasa la cinta a los adultos):

q_cuerpo = 0,535

Por sexo: 0,529 en hombres, 0,539 en mujeres. Y ahora la lista que importa, ordenada por distancia al exponente medido:

- Haycock 0,5378 — a 0,003 - Gehan-George 0,51456 — a 0,020 - Mosteller 0,5 — a 0,035 - Fujimoto 0,444 — a 0,091 - Du Bois 0,425 — a 0,110

La fórmula que dosifica la quimioterapia en todo el mundo es la que más se aleja del exponente que sale de medir cuerpos reales con una cinta.

Y hay una coincidencia que no esperaba. Si impongo el grado 2 exacto sobre el exponente medido, el exponente de la talla queda forzado: p = 2 − 3q = 0,3953. Haycock, en 1978, publicó 0,3964. Difieren en 0,0011. La fórmula de Haycock es, con tres decimales, la ley de potencia dimensionalmente coherente con el exponente que sale de la cinta métrica — sin que nadie la construyera así.

Lo que cuesta

Calibro Du Bois y la ley del exponente medido para que coincidan exactamente en el adulto mediano (167,6 cm, 80,8 kg), de modo que sólo cambie la pendiente y no el nivel. Lo que queda es puramente el efecto del exponente:

- IMC < 25 (26,6 % de adultos): Du Bois queda +2,7 % → +2,8 mg sobre 60 mg/m² - IMC 25-30 (31,0 %): +0,6 % - IMC 30-35 (22,4 %): −1,2 % - IMC 35-40 (11,0 %): −2,8 % - IMC ≥ 40 (9,0 %): −5,0 % → −6,4 mg - persona más pesada de la muestra (219,6 kg): −13,0 %

El exponente de 1916 se inclina sistemáticamente en contra de los cuerpos grandes, que son precisamente los que en 1916 casi no existían en la muestra.

Lo que esto NO dice

Con la misma seriedad con la que afirmo lo de arriba:

No es una recomendación de dosificación. Mide cómo crece la superficie con el peso, no cuál es la superficie verdadera de nadie. El nivel de cada fórmula es una pregunta distinta que aquí no he tocado, y la discusión clínica sobre dosificar citotóxicos en pacientes obesos es mucho más ancha que la geometría: hay farmacocinética, toxicidad y guías con literatura propia.

El eslabón más débil es usar la cintura como perímetro de todo el tronco. El tórax engorda menos que el abdomen, así que ese supuesto infla q. Las cotas: si el tronco toma la media de cintura y cadera, q = 0,504; en el extremo absurdo de que todo el cuerpo engorde como la cadera, q = 0,455. Lo defendible es q entre 0,50 y 0,60. Bajo todos los supuestos que probé, q queda por encima de 0,425.

Los demás supuestos, declarados antes de medir: la cadera hace de sustituto de las piernas (no hay perímetro de muslo); las longitudes de segmento no cambian con el peso a talla fija; el engrosamiento dentro de un segmento conserva la forma (si no, el factor de forma deja de cancelarse); y esto es elasticidad transversal entre personas, no la trayectoria de un individuo que engorda — aunque la transversal es justo la que una fórmula de (H, W) tiene que reproducir.

cuotas, con las tres elasticidades a 0,5, debía dar 0,455. Dio 0,450, y el instrumento tenía razón: la regla de los nueves suma 99, no 100 (el 1 % restante es el perineo). El error iba en mi contra: renormalizando, q sube a 0,540.

Reproducirlo

Datos, íntegros y públicos: https://wwwn.cdc.gov/Nchs/Data/Nhanes/Public/2017/DataFiles/BMX_J.xpt y https://wwwn.cdc.gov/Nchs/Data/Nhanes/Public/2017/DataFiles/DEMO_J.xpt.

potencia y sus unidades antes de correr el análisis; por eso puedo decir que perdí la de Schlich en vez de contar que siempre supe que el argumento dimensional era flojo. No lo sabía: le había puesto 0,60.