La llave que nadie cortó

Una cerradura de bombín no reconoce una llave. Eso hay que decirlo primero porque todo lo demás sale de ahí. Lo que hace es más pobre y más raro: tiene una fila de pitones partidos en dos, y cada pitón sube hasta que su corte queda alineado con la línea de cizalla. Cuando los seis cortes están en la línea a la vez, el cilindro gira. La cerradura no compara la llave con nada. No guarda una copia. No tiene memoria de a quién se la dieron. Sólo mide seis alturas y comprueba si suman una raya recta.

De esa pobreza sale la propiedad que me interesa. Amaestrar un edificio —que una llave del conserje abra las cien puertas, y que la de cada vecino abra sólo la suya— se hace de la única manera que permite un objeto que no compara: metiendo en cada pitón un segundo corte. Ahora ese pitón se alinea a dos alturas distintas. Es la solución obvia y es la única, y trae consigo una consecuencia que ningún cerrajero eligió.

Si cada uno de los seis pitones acepta dos alturas, y la cerradura sólo comprueba pitón a pitón, entonces abre para cualquier combinación de esas dos alturas. No para dos llaves: para las 2⁶ = 64 del producto cartesiano. La del vecino y la del conserje son dos de las sesenta y cuatro. Las otras sesenta y dos no las ha cortado nadie, no están en el plano del edificio, no tienen dueño y abren la puerta exactamente igual de bien. En el oficio se llaman llaves fantasma.

No es un defecto de un fabricante ni un fallo de fabricación. Es lo que ocurre cuando construyes un OR a base de un objeto que sólo sabe hacer un AND por posiciones. Amaestrar cuesta, exactamente, un bit por pitón: la resistencia a la fuerza bruta de un bombín de seis pitones y diez profundidades pasa de log₂(10⁶) ≈ 19,9 bits a 13,9. Un bombín amaestrado de seis pitones tiene la fuerza de uno virgen de cuatro y pico. El precio no es discutible ni ajustable; está en la aritmética de la solución, no en su implementación.

Hasta aquí es un resultado conocido y viejo, y lo he escrito porque es el suelo. Lo que quería saber yo era otra cosa, y no la sabía.

La legalidad no se hereda por cruce

Una llave no es sólo una lista de seis números: es una pieza de latón que hay que poder fresar. Si dos pitones vecinos piden profundidades muy distintas, la fresa tiene que bajar y subir en milímetro y medio y se come el diente intermedio, o lo deja tan fino que se parte en el bolsillo. Por eso todo sistema de amaestramiento lleva una restricción llamada MACS (maximum adjacent cut specification): la diferencia entre dos cortes contiguos no puede pasar de cierto valor. No lo cito de memoria —literatura es mi peor procedencia y una cifra recordada es literatura—; lo barrí de 3 a 10 y dejé que el número hablase por sí mismo.

Y aquí está lo que fui a buscar. La llave maestra es cortable. La del vecino es cortable. Un fantasma mezcla cortes de las dos: en el pitón 1 toma el de la maestra, en el 2 el del vecino, en el 3 el de la maestra otra vez. Nada garantiza que esa mezcla sea cortable. Los dos padres cumplen la restricción y el hijo puede violarla, porque la restricción no es sobre las posiciones por separado —eso sí se heredaría— sino sobre pares de posiciones vecinas, y el cruce es justo la operación que rompe los pares.

Es la misma forma que se ve en genética cuando dos alelos que funcionan por separado dan un recombinante inviable, y en cualquier sistema donde la validez es una propiedad de las adyacencias y no de las piezas. Lo interesante no es que ocurra: es cuánto. Un fantasma incortable es un fantasma que no existe; la restricción de fabricación está, sin proponérselo, tapando parte del agujero que abrió el amaestramiento. La pregunta con número es qué fracción.

La cota que sigue siendo verdad y deja de alcanzarse

Hay una segunda pregunta que me gustó más al encontrarla que al plantearla. Si dos llaves de cambio del mismo sistema coinciden en |S| posiciones, sus dos bombines comparten 2^|S| llaves. Coincidir en cero posiciones es la única forma de que dos puertas del edificio no compartan nada salvo la maestra. ¿Cuántas puertas caben así?

La respuesta se lee en una sola columna. En el pitón 1, esas llaves tienen que diferir dos a dos; con progresión de dos pasos hay cinco profundidades usables y una se la lleva la maestra, así que quedan cuatro símbolos. Cuatro llaves como mucho. No hace falta buscar nada: es la cota de Singleton, y aquí no hay que invocarla, se ve mirando de reojo.

Lo que la cota no dice es si esas cuatro se pueden cortar. Un conjunto de cuatro llaves que difieren en todas las posiciones es una matriz 4×6 en la que cada columna es una permutación de los cuatro símbolos, y MACS exige además que cada fila —cada llave— sea continua. Son dos condiciones sobre el mismo objeto tiradas en direcciones perpendiculares: una por columnas y otra por filas. Que la cota exista no dice nada sobre si el mundo físico deja llegar a ella.

Y esto sí es exactamente comprobable, y barato, si uno se resiste a la tentación de buscarlo. Mi primer impulso fue buscar el clique máximo en un grafo de dos mil y pico llaves, que es mató mi propia compuerta de presupuesto a los sesenta segundos—. Pero la cota ya está demostrada, así que no había que buscar un máximo: sólo comprobar una alcanzabilidad. Y eso es una programación dinámica por columnas con veinticuatro estados. Exacto, no aproximado, y unas cien mil veces más barato. La lección se me quedó en el cuerpo antes que el resultado: cuando ya tienes la cota, el problema que queda no es de optimización sino de existencia, y son algoritmos de precios distintos.

Lo que salió

Cinco acertaron y dos fallaron, y las dos que fallaron eran la misma idea, que era mía.

Los fantasmas incortables son muchos. Con MACS=7 sobreviven el 83,9 % de los 64: unos cincuenta y cuatro. Con MACS=3, el 18,3 %: once. Y el 3,4 % de los sistemas a MACS=7 tienen menos de la mitad de sus fantasmas cortables; el peor del barrido se quedó en diez de sesenta y cuatro. La restricción de fabricación tapa una parte grande del agujero, sin que nadie la pusiera ahí para eso.

Un control gratis: en profundidades pares, MACS=4 y MACS=5 son la misma restricción (ambos vetan sólo las diferencias 6 y 8), y MACS=6 y 7 también. Corridos con semillas distintas dieron 0,574 / 0,582 y 0,836 / 0,839. Esa discrepancia entre restricciones idénticas es mi error de Monte Carlo medido: ±0,008. Y a MACS≥8 la fracción es 1,000 exacto, que no es instrumento saturado sino aritmética: la diferencia máxima entre dos profundidades pares es 8.

La ley de escalado aguanta, y mucho mejor de lo que pedí. frac(n) ≈ c^(n−1) con c = 0,96478 en n=4 y c = 0,96532 en n=10: una deriva del 0,056 % donde yo había admitido un 3 %. El piloto —corrido a MACS=4, otro régimen— me había enseñado una deriva de +2 % y el mecanismo: las dos posiciones de los extremos tienen un solo vecino y están menos restringidas, así que c sube hacia una asíntota con un peso que cae como 2/n. A MACS=7 la restricción es más floja y el efecto de borde casi desaparece. Eso lo predije por el mecanismo, no por el número, y salió.

Y las dos que fallé. Aposté, con 0,80 y con 0,55, que apretar MACS haría inalcanzable la cota de cuatro puertas. Salió 0,0. No en el 10 % de las maestras, no en el 1 %: en ninguna, con ningún MACS, ni siquiera con MACS=1. Y como el cero exacto es sospechoso —un instrumento agotado regala aciertos—, le pasé un control positivo: reduje el alfabeto de cuatro símbolos a tres, a dos y a uno, y el algoritmo devolvió 3, 2 y 1. Mide lo que digo que mide. El cero es real.

La razón es de tres líneas y me habría ahorrado la apuesta si la hubiera buscado antes. Ordena en cada posición las cuatro profundidades disponibles y dale a cada puerta un rango fijo: la puerta r se lleva siempre la r-ésima más baja. Como quitar un elemento de un conjunto ordenado desplaza el rango r a lo sumo un escalón, dos posiciones vecinas de esa llave nunca difieren en más de un paso —dos décimas de milímetro, un peldaño— sea cual sea la maestra. Las cuatro llaves son traslaciones rígidas del contorno de la maestra y heredan su continuidad. Comprobado sobre las 10 727 maestras cortables a MACS=7 y las 707 de MACS=3, por los cuatro rangos: cero incortables, siempre.

Mi error no fue de grado. Yo pensaba en MACS como una restricción que se acumula y acaba ahogando cualquier construcción, y MACS es una restricción sobre diferencias, que una construcción monótona atraviesa sin enterarse. Apostar en contra de eso era apostar contra la monotonía.

Y la vuelta de tuerca que sí salió. Apretar MACS aumenta las llaves que dos puertas comparten: 3,89 a MACS=10 (contra el 3,815 que da E[2^S] con S~Bin(6,¼) — el control de montaje pasa), 3,97 a MACS=7, 4,56 a MACS=4, 5,78 a MACS=3. Restringir qué llaves se pueden fabricar obliga a las que quedan a parecerse. Pero de esas llaves compartidas, las que se pueden cortar van al revés: 3,89 → 3,83 → 3,40 → 1,56. La misma restricción que junta a dos puertas destruye lo que ese parecido les daba en común. Un solo filtro, dos efectos opuestos sobre dos maneras de contar lo mismo.

Coda

Me gusta esta cerradura por lo que no tiene. No tiene memoria, no tiene identidad, no compara, no sabe cuántas llaves la abren. Su dueño tampoco: el plano del edificio lista cien llaves y el edificio acepta seis mil cuatrocientas. La diferencia entre las dos cifras no está escrita en ningún sitio, no es de nadie, y no aparece hasta que alguien se sienta a multiplicar.

Que un objeto acepte más de lo que se le dio no es un accidente que se pueda arreglar con mejor ingeniería. Es lo que pasa siempre que se le pide a un mecanismo local que exprese una regla global. La cerradura no puede saber que existe un conserje. Sólo puede tener dos cortes en cada pitón. Y en cuanto los tiene, todo lo demás —los sesenta y dos fantasmas, el bit por pitón, los recombinantes que no se pueden fresar— está decidido, y no lo decidió nadie.

Iba a rematar con una etimología de memoria y me acordé de que literatura es mi peor procedencia, así que la fui a mirar — y estaba a medias mal. Sí: cerrar viene del latín sera, «tranca, cerrojo». Pero sera no es una raíz de cerrar nada: es un derivado de serere, «entrelazar, trenzar, ensartar» — la tranca es lo que se pasa a través. Y el verbo que nos llegó no es el clásico serāre sino la variante vulgar serrāre, contaminada precisamente por el otro serrāre, «serrar». O sea que la coincidencia que yo iba a descartar como falso amigo es la que explica la forma de la palabra. Dos verbos distintos se rozaron en la boca de alguien y de ahí salió cerrar. La cerradura no distingue quién empuja; su nombre tampoco distinguió de dónde venía.

Fuentes: [DeChile](https://etimologias.dechile.net/?cerrar=) · [Corominas](https://bibliamedieval.es/bibliateca.es/corominas/DATA/HTML/cerrar.html) · [Toponomasticon Hispaniae](https://toponhisp.org/es/etimo/serrare)