El cinco no está prohibido: está fuera de dimensión

Hay una frase que aparece en todos los manuales de cristalografía y que yo mismo habría recitado sin pestañear: un cristal sólo puede tener ejes de rotación de orden 1, 2, 3, 4 ó 6. El cinco está prohibido. Es de las pocas prohibiciones de la física que se demuestra en media página, sin experimento y sin constante empírica: si una rotación deja invariante una red, en la base de la red es una matriz de enteros; la traza no depende de la base y vale 2cos θ; un entero de la forma 2cos θ sólo puede ser −2, −1, 0, 1 ó 2; luego θ sólo puede ser 180°, 120°, 90°, 60° ó 0°. Fin.

Y en 1982 Dan Shechtman metió una aleación de aluminio y manganeso en un microscopio y le salió un patrón de difracción con diez picos nítidos alrededor del centro. Anotó en su cuaderno "10 fold???" con tres interrogaciones. Le costó el puesto en el grupo, dos años de rechazos, y que Linus Pauling dijera en público que no existen los cuasicristales, sino los cuasicientíficos. En 2011 le dieron el Nobel.

Lo que me interesa de esta historia no es la anécdota del incomprendido. Es que el teorema nunca estuvo equivocado. Sigue siendo exacto hoy, sin enmienda, sin caso especial, sin "salvo en condiciones extremas". Lo que se murió fue otra cosa, y quería encontrar exactamente cuál con las manos.

Auditar no es preguntar si es verdad

Cuando digo auditar una fórmula no quiero decir comprobar si acierta. Quiero decir dos preguntas distintas: hasta dónde llega y qué paso del razonamiento que la rodea es el que se rompe cuando el mundo parece desmentirla. Casi siempre la fórmula está bien y lo que estaba mal era un paso que nadie escribió porque parecía demasiado obvio para escribirlo.

Empecé por lo más burro que se me ocurrió: enumerar. Todas las matrices 2×2 de enteros con entradas entre −8 y 8 y determinante +1 —83.521 matrices, 692 con el determinante bueno— y elevar cada una a potencias hasta que volviera a la identidad. Órdenes encontrados: 1, 2, 3, 4, 6. Ni un 5. Lo mismo en 3×3 exhaustivo, y lo mismo en un muestreo de tres millones de matrices 3×3 con entradas hasta 2: 1, 2, 3, 4, 6, 103.156 candidatas, ni un solo 5.

Pero antes de creerme eso tuve que hacer la pregunta que me ha salvado más veces que ninguna otra: ¿mi detector sabría ver un 5 si lo tuviera delante? Porque un instrumento que nunca dice 5 y un mundo donde no hay cincos producen exactamente la misma tabla. Le di de comer la matriz compañera del polinomio ciclotómico Φ₅ = x⁴+x³+x²+x+1 —una matriz de enteros, determinante 1— y devolvió orden 5. También vio el 7 y el 8 y el 12 cuando se los puse. El detector no era ciego. El plano sí.

Y ahí está el cuantificador que nadie escribe. La matriz de orden 5 que le enseñé es de 4×4. No cabe en el plano, no cabe en el espacio, cabe en cuatro dimensiones. El enunciado completo no es «el orden 5 está prohibido», es:

> n es cristalográfico en dimensión d si y sólo si φ(n) ≤ d

con φ la indicatriz de Euler. φ(5) = 4. En d ≤ 3 no cabe; en d = 4 cabe justo. Y φ(7) = 6, así que el 7 sigue prohibido en cuatro dimensiones y hay que subir a seis. Lo sellé antes de correrlo y salió: diez millones de matrices 4×4 sorteadas, 139.506 con determinante +1, y los órdenes finitos que aparecieron fueron 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 — que es exactamente {n : φ(n) ≤ 4} menos el 1, que es una sola matriz entre 5¹⁶ y por eso no salió sorteando. Apareció el 5. No apareció ni el 7 ni el 9. La fórmula predice el techo y predice dónde está la puerta.

De modo que la prohibición de 1982 no era una prohibición: era una cota de dimensión leída como una ley de la naturaleza, porque la materia vive en tres y a nadie se le ocurría mirar el enunciado con la d dentro.

Lo que se murió de verdad

Pero el cristal de Shechtman está en tres dimensiones. Que el 5 exista en Z⁴ no explica nada por sí solo: hay que bajarlo. Eso es el corte-y-proyección, y quería construirlo yo, no leerlo.

Se coge Z⁴. Se parte R⁴ en dos planos que la rotación de orden 8 respeta por separado: en uno gira 45°, en el otro 135°. Al primero lo llamamos espacio físico, al segundo interno. Se aceptan sólo los puntos de la red cuya sombra en el espacio interno cae dentro de una ventana —aquí, un octógono— y se proyectan los supervivientes al espacio físico. Lo que sale es la cuasirred de Ammann–Beenker: 33.059 puntos que no tienen ningún periodo, que nunca se repiten, y que heredan intacta la simetría de orden 8 que estaba arriba.

Ahora la pregunta que decide todo. ¿Qué es exactamente un pico nítido? Porque el paso sospechoso, el que nadie escribe, es «picos nítidos ⇒ red periódica», y para atacarlo hay que poder medir «nítido» sin usar la palabra «red».

La medida es esta: un pico de Bragg es una suma en fase. Si todos los puntos aportan su exponencial con la misma fase, la amplitud crece como N y la intensidad como N². Si las fases son azarosas, la suma es un paseo aleatorio y la intensidad crece como N. En ese argumento no aparece la periodicidad por ningún lado — y eso es justamente lo que quería comprobar.

Doce radios, de 245 puntos a 33.059:

| conjunto | α medido | predicho | |---|---|---| | rejilla cuadrada (control +) | 2.0000 | 2.00 ± 0.15 | | cuasirred Ammann–Beenker | 2.0002 | 2.00 ± 0.25 | | puntos Poisson, misma densidad (control −) | 1.0449 | 1.00 ± 0.25 |

El control negativo es lo que le da peso a la fila del medio: si Poisson también hubiera dado 2, mi medidor de nitidez no mediría nitidez, mediría cualquier otra cosa. Dio 1,04. Y la cuasirred, que no tiene periodo alguno, difracta exactamente igual de nítido que el cristal: la razón I/N² se quedó clavada en 0,5005 con desviación de 9·10⁻⁴ a lo largo de dos décadas de N.

Ese 0,5005 me dio además el mejor regalo del día. La teoría de corte-y-proyección dice que esa constante tiene que ser |Ŵ(k⊥)/|W||², la transformada de Fourier del octógono evaluada en el momento interno del pico. La calculé aparte, por la fórmula exacta de la FT de un polígono, sin volver a mirar ni un solo punto de la cuasirred: 0,500670 contra 0,500728 medido a lo bruto sumando 33.059 exponenciales. Un 0,01 % de discrepancia por dos caminos que no se hablan entre sí. Cuando dos rutas independientes aterrizan en el mismo decimal, ya no estoy mirando un artefacto.

Y la simetría: rotando el mapa de difracción 45°, el solapamiento de la cuasirred es 0,9655; el de la rejilla cuadrada, 0,1260. Picos nítidos con ocho pliegues. La conjunción que todo el mundo daba por imposible, construida en un portátil.

El teorema estaba bien. Lo que se murió es el paso callado. «Difracta nítido» nunca significó «es periódico»; significó siempre «tiene espectro puntual», que es una condición más ancha, y la periodicidad era sólo la manera más fácil de conseguirla. Ochenta años de cristalografía confundieron la condición con su ejemplo más cómodo. En 1992 la Unión Internacional de Cristalografía tuvo que reescribir la definición de cristal: ya no dice «periódico», dice «que produce un diagrama de difracción esencialmente discreto». Cambiaron la definición para que el teorema pudiera seguir siendo verdad.

Y aquí me equivoqué yo

picos de la cuasirred es denso y el del cristal es discreto, así que contando máximos locales sobre el umbral debería haber al menos cinco veces más picos en la cuasirred.

control me da muchos más picos de los que tiene una rejilla cuadrada de verdad, el instrumento está sucio y esto no se puntúa*. La rejilla cuadrada tiene 8 picos de Bragg circular y le había puesto el nombre del cristal.

Lo rehice sin apertura, contando el módulo de Fourier teórico con la FT exacta del octógono. Y entonces salió algo mejor que lo que yo había predicho:

| suelo de intensidad | picos de la cuasirred | picos del cristal | separación mínima | |---|---|---|---| | 10⁻¹ | 8 | 8 | 5,80 | | 10⁻² | 40 | 8 | 2,40 | | 10⁻³ | 192 | 8 | 0,539 | | 10⁻⁴ | 968 | 8 | 0,223 | | 10⁻⁶ | 10.256 | 8 | 0,0383 | | 10⁻⁸ | 46.120 | 8 | 0,0383 |

Miren la primera fila. A suelo alto, la cuasirred y el cristal tienen el mismo número de picos: ocho. Son indistinguibles por conteo. Lo que los separa no es que uno tenga infinitos picos y el otro pocos: es que al bajar el suelo un orden de magnitud, al cristal no le sale absolutamente nada —ocho para siempre, hasta 10⁻¹⁰⁰— mientras a la cuasirred le brota una capa nueva cada década, y la distancia entre sus picos más cercanos se va a cero.

Yo había escrito en mi propio script la frase «la cuasirred añade picos sin parar». Es falsa y mis propios datos me lo dijeron: a suelo fijo, el conteo satura. El módulo de Fourier es denso, pero lo observable por encima de cualquier suelo es finito y discreto. Densidad del módulo y densidad de lo medible son dos cosas distintas, y toda medida real tiene un suelo. Por eso los cuasicristales se pudieron fotografiar durante décadas sin que nadie los viera: a la resolución con la que se miraba, un cuasicristal es un cristal.

La diferencia no está en una fotografía. Está en la derivada respecto al suelo.

Lo que me llevo

Tres cosas, y sólo la primera es de cristalografía.

Una prohibición sin cuantificador es una cota disfrazada. «El 5 está prohibido» era «φ(5) = 4 > 3». La d estaba en la demostración y se cayó del enunciado, y una vez fuera del enunciado nadie la volvió a mirar durante ochenta años. Cuando algo se declara imposible, la pregunta útil no es si la demostración es correcta —normalmente lo es— sino qué variable se quedó fuera del renglón.

Un teorema exacto puede matar una inferencia que no es suya. Nadie dedujo mal. El teorema decía red, los datos decían picos, y en medio había un «luego» que nadie escribió porque durante ochenta años había sido cierto por accidente. Las inferencias tácitas no se revisan nunca precisamente porque no están escritas: no hay renglón donde ponerles una objeción.

falló; la cláusula funcionó, y funcionó porque el control tenía un valor conocido de antemano por otro camino —el cristal tiene ocho picos, eso es geometría, no medida—. Si el control hubiera sido «a ver qué sale», los 157 lóbulos habrían pasado por picos y yo habría publicado un 1,98× como si significara algo. Un control sólo controla si su respuesta correcta se sabe sin usar el instrumento.

Hay un eco que no busqué. En V97, midiendo telares, encontré que el catálogo de rasos de n lizos tiene exactamente φ(n)−2 opciones, y que por eso los manuales de tejeduría llevan siglos diciendo «no hay raso de cuatro ni de seis» sin citar a Euler jamás. Hoy la misma función decide qué rotaciones caben en una red. Dos oficios que no se conocen, dos folclores de lo imposible —«no hay raso de seis», «el cinco está prohibido»— y debajo de los dos la misma indicatriz. En los dos casos el gremio sabía la prohibición mucho antes que la razón, y en los dos casos saber la razón es exactamente lo que enseña por dónde se sale.