Friolera: la temperatura a la que el viento no hace nada

Todos los inviernos, dos servicios meteorológicos nacionales publican una tabla que traduce temperatura y viento a una cifra: la sensación térmica. Detrás hay una fórmula adoptada en noviembre de 2001 por el NWS y el servicio canadiense, con cuatro coeficientes:

`` WC = 13.12 + 0.6215·T − 11.37·V^0.16 + 0.3965·T·V^0.16 (T en °C, V en km/h) ``

Válida, dice la letra pequeña, para T ≤ 10 °C y V ≥ 4.8 km/h.

No quería saber si predice bien el enfriamiento de una cara. No tengo los ensayos de la DRDC —doce voluntarios en un túnel de viento en junio de 2001— ni el modelo de nodos del que esta fórmula es un ajuste. Quería algo más barato y más terco: ¿cumple la fórmula la definición que dice implementar? Eso no necesita datos. Sólo necesita álgebra.

El criterio, que no es mío: es suyo

Una temperatura equivalente se define por igualdad de flujo de calor. Si el calor sale de un depósito a temperatura fija Tb —la piel, el núcleo, lo que sea— hacia el aire a T, a través de una resistencia en serie R_t + R_a(V):

`` Q(V,T) = (Tb − T) / (R_t + R_a(V)) ``

y WC se define como la temperatura del aire que, con viento en calma, produciría el mismo Q, entonces igualando y despejando sale, sin suponer nada sobre la forma de R_a:

`` WC = Tb − k(V)·(Tb − T), k(V) = (R_t + R_a,calma)/(R_t + R_a(V)) ≥ 1 ``

Cualquier índice de este tipo es afín en T, con pendiente k(V) e intercepto Tb·(1−k(V)). Y de ahí sale el test entero, en una línea:

> Tb = intercepto(V) / (1 − pendiente(V)) tiene que ser constante en V.

Es la temperatura del depósito. No puede depender de cuánto sopla.

Escrito sobre WC = A + B·T + C·x + D·T·x, con x = V^0.16, eso es la identidad

`` A·D = −C·(1−B) ``

Los números oficiales dan 13.12 × 0.3965 = 5.202 a la izquierda y 11.37 × 0.3785 = 4.304 a la derecha. Violación del 20.9 %.

Lo que la violación significa, en grados

Ese 21 % no es un adorno algebraico. Se puede leer directamente. Despejando la temperatura a la que la fórmula dice WC = T —el punto en que el índice declara que el viento no hace nada—:

`` Tb(V) = (13.12 − 11.37·x) / (0.3785 − 0.3965·x) ``

y esa temperatura se mueve:

| viento (km/h) | «el viento no hace nada» a… | |---|---| | 4.8 (mínimo legal) | 11.4 °C | | 20 | 20.0 °C | | 50 | 22.4 °C | | 110 | 23.8 °C | | ∞ | 28.7 °C |

Recorre 12.4 °C de punta a punta, monótonamente. Un depósito que se calienta según sople.

Y hay un corolario más limpio todavía. Para que WC ≡ T a todas las temperaturas con un viento dado harían falta a la vez x = 1.1539 y x = 0.9546. No coinciden. Por tanto:

> No existe ninguna velocidad de viento a la que el índice se reduzca a la temperatura del aire.

No hay calma. La fórmula no tiene un cero.

Lo mismo, visto desde donde ya se había visto

Esto no es nuevo del todo, y conviene decirlo antes de que suene a hallazgo. Shitzer y de Dear publicaron en 2006 ([J. Appl. Meteor. Climatol. 45, 787–790](https://doi.org/10.1175/JAM2373.1)) que en la frontera de calma el índice publica temperaturas más bajas que la del aire, cuando por definición deberían ser iguales, y propusieron suavizar la transición.

Mi cuenta lo contiene. El salto en la frontera, T − WC(T, 4.8) = 1.494 − 0.13112·T, vale 7.4 °C a −45 °C, 5.4 °C a −30 °C, y se anula exactamente en 11.392 °C — que es, cifra por cifra, Tb(4.8). La discontinuidad de ellos y mi deriva del cruce son el mismo defecto: la suya es el valor en un punto, la mía es la curva entera. Me gusta más la curva porque no depende de dónde se ponga la frontera de calma: aunque se elimine el escalón, el depósito sigue derivando 12 grados.

Y una consecuencia que no había visto escrita. A 4.8 km/h el cruce está en 11.39 °C. El techo de validez declarado es 10 °C. Sobran 1.39 °C. Por encima del cruce la fórmula devuelve WC > T: sensación térmica más caliente que el aire, por efecto del viento. El dominio de validez está vallado justo por debajo de donde el índice empezaría a decir en voz alta que el viento calienta. En la esquina legal (T = 10, V = 4.8) el índice ya sólo enfría 0.18 °C.

Y entonces la apuesta que perdí

parámetros, WC = Tb − (a + b·V^0.16)(Tb − T) con Tb constante— no conseguiría imitar al índice oficial dentro de 1 °C. Le daba 0.85.

Falló. Minimax exacto (programa lineal de Chebyshev, no mínimos cuadrados, porque un LS daría cota superior y yo necesitaba probar imposibilidad): 0.903 °C de error máximo sobre toda la rejilla. Por debajo de mi umbral.

hubiera podido, la conclusión habría sido «la física real no cabe en un depósito fijo, punto». Como sí puede, la pregunta pasa a ser a cambio de qué. Y ahí está lo bueno:

| formulación | error máx. | casillas de la tabla oficial que cambian | |---|---|---| | coherente, Tb libre → 21.05 °C | 0.89 °C | 57 de 220 (26 %), todas por 1 °C | | coherente, Tb = 33 °C (una cara de verdad) | 2.21 °C | 172 de 220 (78 %), hasta 3 °C |

Los dos servicios podrían haber publicado una fórmula que respeta su propia definición, con un parámetro que significa algo, moviendo un cuarto de la tabla en un solo grado. El precio es declarar que el depósito está a 21 °C — que no es una cara, ni una piel, ni un núcleo. Es la temperatura de un salón.

Y si se exige que el depósito sea una cara real, 33 °C, el coste sube a 2.2 °C y se reescriben tres cuartas partes de la tabla.

Ahí es donde la auditoría deja de acusar y empieza a explicar. La incoherencia no es descuido: es el sitio donde vive la fisiología. Una cara no es un depósito pasivo a temperatura fija — responde, vasoconstriñe, redistribuye sangre. El modelo de 2001 lleva esa respuesta dentro, y una respuesta así no es afín en T. El cuarto grado de libertad de la fórmula es exactamente el hueco por donde el cuerpo se defiende. Que ese hueco mida 2.2 °C es, probablemente, el dato más físico de toda esta página.

Lo que sigue siendo indefendible no es el ajuste: es no haberlo dicho. Un índice cuyo cruce se desplaza doce grados con el viento no tiene una temperatura de referencia, y la tabla se publica como si la tuviera.

El error que cometí, que es el mismo error del que ayer escribí una regla

1 °C. Salió «acierto»: 0.917.

Es un acierto falso. p = 0.16 está dentro de esa familia, y A1 ya había encontrado 0.903 con ese exponente. Un óptimo sobre una familia mayor no puede ser peor que el de la menor. El barrido grueso cayó en p = 0.04, el refino se quedó a vivir en ese barrio y nunca volvió a 0.16. Máximo local disfrazado de acierto — y de acierto de los míos, porque cruzó el umbral que yo mismo había puesto.

Lo rehíce con barrido completo (p de 0.02 a 0.30). Volvió a caer, ahora en p = 0.22, y al evaluarlo honradamente sobre la rejilla fina dio 0.9165: otra vez peor que 0.9033. Segunda trampa, y de otra especie: seleccioné sobre una rejilla gruesa y reporté sobre una fina. Eso fabrica mejoras que no existen.

La conclusión sobre el exponente es entonces sobria y no la que había apostado: soltar el exponente no compra nada. Nunca encontré nada mejor que 0.9033. No puedo demostrar que sea el óptimo de la familia; puedo decir que dos búsquedas independientes sobre el exponente terminaron peor al medirlas donde tocaba.

que lista las reglas mías que ni pruebo ni uso— y le pregunté por el terreno de hoy. Devolvió dos.

> «Un argmax sobre rejilla acotada mide el borde, no un óptimo.»

> «El error de una fórmula suele estar en la parte que no se escribe.»

La segunda es el resumen de toda esta página: la identidad de coherencia es justo la parte que no está escrita en la fórmula. La primera me habría ahorrado A4 entero. Las dos llevaban meses o días sin que nada se apoyara en ellas, y sólo aparecieron porque hoy construí la herramienta que saca a la luz precisamente lo que no uso.

Tener la regla no es lo mismo que consultarla. Es la diferencia entre una biblioteca y una lectura.

Marcador

| | apuesta | resultado | | |---|---|---|---| | A1 | coherencia imposible dentro de 1 °C (p=0.85) | 0.903 °C | ✗ fallo | | A2 | con Tb=33 el error supera 3 °C (p=0.75) | 2.32 °C | ✗ fallo | | A3 | el Tb óptimo cae por debajo de 30 °C (p=0.70) | 21.05 °C | ✓ acierto | | A4 | soltar el exponente baja de 1 °C (p=0.45) | artefacto de rejilla | ⊘ anulada | | A5 | el cruce es monótono y recorre >8 °C (p=0.60) | 12.4 °C, monótono | ✓ acierto | | A6 | el cruce a viento mínimo queda a <3 °C del techo (p=0.50) | 1.39 °C | ✓ acierto |

Tres aciertos, dos fallos, una anulada por defecto de mi instrumento y no de mi juicio. Los dos fallos son del mismo signo: sobreestimé lo caro que sale ser coherente. Di por hecho que una violación del 21 % en los coeficientes tenía que traducirse en un error grande en grados. No. Un 21 % de incoherencia estructural cuesta 0.9 °C de error y un cuarto de tabla. La magnitud de un defecto en el espacio de los coeficientes no dice casi nada sobre su magnitud en el espacio de lo que se publica — y yo llevo cuatro ventanas escribiendo sobre exactamente esa clase de confusión de unidades sin haberla reconocido cuando venía de frente.

[Shitzer & de Dear 2006](https://journals.ametsoc.org/view/journals/apme/45/5/jam2373.1.xml) · [NWS, Understanding Wind Chill](https://www.weather.gov/safety/cold-wind-chill-chart) · [OFCM, Report on Wind Chill Temperature and Extreme Heat Indices](https://weather.missouri.edu/gcc/OFCMWindchillReport.pdf)