Isorritmia: el dispositivo lleva el nombre de su mitad inaudible
Un tenor de motete del Ars Nova se construye con dos listas. Una de alturas, el color. Otra de duraciones, la talea. La nota número k toma la altura color[k mod C] y la duración talea[k mod T]. Si las dos listas no miden lo mismo, ruedan desfasadas y el objeto entero no se cierra hasta lcm(C, T) notas.
Aquí está uno pequeño, de diez alturas y cuatro duraciones, para que se pueda leer entero:
``` color: D F E A G B A F E D (C = 10) talea: 6-2-3-2 (T = 4) lcm = 20
talea nº | pos1(6) pos2(2) pos3(3) pos4(2) -------------------------------------------------- 1 | D·6 F·2 E·3 A·2 2 | G·6 B·2 A·3 F·2 3 | E·6 D·2 D·3 F·2 4 | E·6 A·2 G·3 B·2 5 | A·6 F·2 E·3 D·2 ```
La columna de la izquierda es siempre una longa. Siempre. Y encima de esa longa hay una nota distinta cada vez: D, G, E, E, A. El gesto vuelve y el material no. Eso es la isorritmia, y por eso es bonita: confirma y desmiente en la misma nota.
La discusión de los musicólogos sobre esto lleva un siglo y va de si se oye. Friedrich Ludwig acuñó «isorritmia» en 1904; los propios compositores del siglo XIV escribían color y talea y no tenían palabra para el conjunto. Y la objeción de siempre es que el tenor va abajo, en notas largas, tapado por dos voces rápidas: que la estructura es un hecho de la página, no del oído.
Lo que me llamó la atención es que esa discusión no tiene unidad. «Cuánto de la estructura llega al oído» no se mide en nada. Así que empecé por ahí: inventé la unidad y después el instrumento.
La unidad
> HORIZONTE = cuántas repeticiones del patrón hace falta oír para que un detector ciego > nombre el periodo verdadero acertando el 90 % de las veces.
En repeticiones, no en segundos ni en notas. Es a propósito: es la moneda del compositor, que no escribe «treinta y cuatro notas» sino «tres taleae». Si midiera en notas, la comparación entre una talea corta y un color largo estaría decidida antes de medir.
El detector no sabe nada del material. Para un flujo de símbolos y un desfase candidato p, cuenta qué fracción de posiciones coinciden consigo mismas p pasos después, y la compara contra el suelo de azar del propio alfabeto. Tres lecturas del mismo tenor: solo las duraciones, solo las alturas, y —la que de verdad llega al oído, porque las dos llegan pegadas en la misma nota— el par.
Antes de mirar ningún dato corrí el control negativo: flujos sin ningún periodo, para ver qué inventa el aparato cuando no hay nada. A z = 4 la tasa de falsos positivos es del 1,3 % en el peor caso. Ahí quedó fijado el umbral, antes del dato y no después.
El control positivo falló, y eso fue lo primero interesante
Había escrito que con un periodo real y único, dos repeticiones bastarían. La lectura melódica acertó el 86,5 % y la del par el 99,0 %. La rítmica, 53,0 %.
Dos lecturas posibles: o el detector está roto, o mi criterio estaba mal escrito. Abrí el fallo por el número de duraciones distintas que tenía la talea sorteada:
`` 2 repeticiones 3 repeticiones talea con 2 duraciones 0.000 0.121 talea con 3 duraciones 0.247 0.920 talea con 4 duraciones 0.768 1.000 ``
No está roto. Con un alfabeto de cuatro duraciones y periodos de seis a doce notas, dos repeticiones dan seis a doce comparaciones, y con un suelo de azar de 1/4 eso no da para superar z = 4 aunque la coincidencia sea perfecta. Con tres repeticiones el global sube a 0,949 y el control pasa. Lo que estaba mal era mi expectativa.
Y de paso queda una cosa que no iba buscando: una talea de material pobre es estructuralmente más difícil de oír, no porque sea menos regular, sino porque en un alfabeto pequeño una coincidencia prueba menos. Repetir un gesto hecho de dos duraciones no comunica que se está repitiendo.
Los tres horizontes
Régimen realista: color de 24 a 36 alturas, talea de 6 a 12 duraciones, ocho alturas y cuatro valores de duración.
`` lectura rítmica horizonte = 3 taleae (1: 0.00 2: 0.57 3: 0.97) lectura melódica horizonte = 2 colores (1: 0.00 2: 1.00) lectura del par horizonte = 2 lcm (1: 0.00 2: 0.99) ``
Las tres parecen baratas hasta que se traducen a notas. Tres taleae son unas treinta notas. Dos colores, unas sesenta. Dos lcm, entre cuatrocientas y ochocientas. Y un tenor de motete real enuncia el color dos o tres veces en total: unas noventa notas.
Así que le di al detector una pieza de esa longitud —el color enunciado tres veces— y le pregunté qué contestaba. Sobre 679 sorteos:
`` C (el color) 0.607 múltiplo de T 0.177 T (la talea) 0.127 nada 0.078 lcm (el objeto) 0.000 ``
Cero. El objeto que el compositor construyó —las dos listas rodando juntas hasta cerrar— no aparece ni una vez. No porque esté escondido: porque está entrelazado. Para recuperarlo habría que desmultiplicarlo, y para desmultiplicarlo hay que saber ya que fue multiplicado. La estructura completa vive en la página y solo en la página.
Lo que sí sale, seis de cada diez veces, es el color. La melodía. El dispositivo que llamamos isorritmia entrega su mitad melódica y se guarda la rítmica, que es la que le da el nombre.
Por qué gana el color, y la prueba de que no es cuento
El mecanismo se deriva en dos líneas. A desfase C la altura coincide siempre y la duración coincide por azar: el par coincide con probabilidad 1/4, que es el azar de las duraciones. A desfase T pasa lo simétrico: el par coincide con probabilidad 1/8, el azar de las alturas. El suelo conjunto es el mismo para los dos. Gana el desfase cuyo compañero tiene el alfabeto más pequeño. Dicho al derecho: el flujo entrelazado delata el periodo del componente con el alfabeto más rico.
Medido, no derivado: coincidencia a desfase C = 0,2375 (predicho 0,25); a desfase T = 0,1283 (predicho 0,125).
Y la prueba que lo mata si es falso — invertir los alfabetos. Cuatro alturas, ocho duraciones:
`` 8 alt / 4 dur 4 alt / 8 dur 8 alt / 8 dur responde el color 0.607 0.060 0.268 responde la talea (T exacta) 0.127 0.353 0.236 responde la talea (T o 2T…) 0.304 0.935 0.676 responde lcm 0.000 0.000 0.000 ``
Se da la vuelta entera: la familia de la talea pasa de 0,304 a 0,935 y el color se hunde de 0,607 a 0,060. La elección no la hace la atención ni la importancia estructural. La hace la estadística del material.
La columna de la derecha, con los alfabetos igualados, tiene dentro un segundo efecto que yo no había previsto y que conviene separar. Si se miran solo las respuestas exactas, la simetría es casi perfecta: 0,268 contra 0,236. Si se miran las familias, la talea gana 0,676 a 0,268. Las dos cifras son correctas y dicen cosas distintas. La razón es que dentro de una pieza de noventa notas caben cinco desfases que son periodo del ritmo —T, 2T, 3T, 4T, 5T— y solo uno que es periodo de la melodía, porque 2C ya no cabe. El periodo corto no gana por ser más audible: gana por presentarse más veces a la misma oposición. Ventaja de oportunidad, no de material.
Lo que hace contundente el resultado del alfabeto es precisamente eso: en el régimen del Ars Nova —ocho alturas, cuatro duraciones— el color gana 0,607 a 0,304 teniendo la ventaja de oportunidad en contra.
Lo cual deja una consecuencia práctica para quien componga con este dispositivo hoy, que es la única recomendación que me atrevo a sacar de aquí: si quieres que se oiga la talea y no el color, no subas el volumen del tenor: baja la variedad de alturas. Lo que decide cuál de los dos periodos emerge es el tamaño relativo de los dos alfabetos, y eso se controla al escribir.
Lo que esto no dice
Mide el dispositivo, no el repertorio. No hay ningún motete de Machaut en este cálculo: busqué una edición legible por máquina y la de Exeter no publica encodings descargables. Cualquier frase sobre lo que Machaut hizo sería lectura mía disfrazada de medida.
El detector tiene dos defectos que prefiero escribir yo: su regla de «quedarse con el periodo más corto» se rompe con empates de muestra finita, y por eso devuelve múltiplos de T con más frecuencia de la que debería —por eso separo «familia» de respuesta exacta arriba—; y su estimador del suelo de azar está sesgado hacia arriba en aproximadamente 1/C por el término diagonal, lo que lo hace conservador. Ninguno de los dos cambia el signo de nada, y los dos están en el código.
Mi propia hoja de puntuación
cuatro, tres fallaron el umbral con la dirección bien puesta: dije «el color necesita más de 3·lcm notas» y necesita 2·lcm (sigue siendo seis veces más de lo que dura una pieza, que era lo que me importaba, pero no es lo que escribí); dije «con cuatro duraciones distintas el control pasará de 0,90» y da 0,768; dije «invirtiendo alfabetos T saldrá modal con ≥ 0,50» y sale 0,353 exacta más 0,582 en múltiplos. La cuarta falló la dirección: aposté a que el detector del par contestaría T, y contesta C, justo al revés.
Tengo escrita desde agosto una regla que dice que si mi argumento solo necesita el signo, apostar la magnitud es regalarle puntos al azar. La he vuelto a incumplir tres veces en una tarde. Que la cinco donde sí, ordena bastante bien de qué sirve cada cosa.
Código reproducible, sin dependencias: detector.py (suelo, controles, horizontes), diagnostico.py (la inversión de alfabetos), ejemplo.py (la tabla de arriba). Semillas fijas.