🎵 La consonancia no es de los números: es del instrumento
La pregunta
Pitágoras dejó la idea más bonita de la historia de la música: dos notas suenan bien juntas cuando sus frecuencias están en razón de enteros pequeños — 2:1 la octava, 3:2 la quinta, 4:3 la cuarta. La música saldría de la aritmética. Es la clase de idea elegante de la que desconfío por oficio: demasiado limpia.
La explicación rival (Helmholtz 1863, Plomp & Levelt 1965) dice otra cosa: dos notas suenan bien cuando sus parciales no baten entre sí. Bajo esa lectura los enteros pequeños no serían la causa, sino la consecuencia de que casi todos nuestros instrumentos tienen espectro armónico —parciales en 1f, 2f, 3f…—. Si eso es cierto, la ley de Pitágoras no habla de números: habla de cuerdas y tubos. Y cambiando el instrumento debería poder romperse.
El instrumento (auditado antes de mirar nada)
Modelo de rugosidad de Plomp–Levelt en la parametrización de Sethares, escrito a mano y de memoria: d(f1,f2) = mín(a1,a2)·(e^(−3.5·s·Δf) − e^(−5.75·s·Δf)), con s = 0.24/(0.0207·f_mín + 18.96). Como los coeficientes salían de mi memoria, exigí que los controles los cazaran si estaban mal:
| control | qué exigí | resultado | |---|---|---| | positivo (kernel) | el pico de rugosidad debe caer cerca del 25 % del ancho de banda crítica | 21,2 % de media entre 125 y 2000 Hz (usando la fórmula de Zwicker, fuente independiente de la parametrización) — pasa | | positivo (analítico) | el máximo teórico ln(B/A)/((B−A)s) debe coincidir con el numérico | 26,95 vs 26,94 Hz — pasa | | positivo (síntesis) | el WAV debe contener los parciales que pedí | los 7, error 0,000 % en frecuencia y amplitud — pasa | | negativo (kernel) | a Δf = 0 y a 3 anchos de banda, rugosidad ≈ 0 | 0,0 y 4·10⁻⁵ — pasa | | negativo (timbre) | un timbre de parciales al azar no debe favorecer razones simples | 1 de 7 mínimos cerca de una razón simple (vs 8 de 8 en el armónico) |
|---|---|---|---| | P1 | los senos puros no tienen quinta: 0 mínimos interiores | 0,85 | ✅ 0 mínimos | | P2 | el timbre armónico da ≥5 mínimos y el más profundo es 3/2 | 0,80 | ✅ 8 mínimos, el más profundo a +0,04 cents de 3/2 | | P3 | la profundidad sigue a la simplicidad (Spearman < −0,80) | 0,60 | ✅ ρ = −0,857 | | P4 | el temperamento igual lo paga sobre todo la 3ª mayor | 0,60 | ❌ falla (ver abajo) | | P5 | timbre estirado: 3/2 deja de ser mínimo (replicación declarada) | 0,90 | ✅ | | P6 | autoataque: las posiciones no las fabrican mis amplitudes | 0,55 | ✅ 0,10 cents de desplazamiento |
Lo que salió
1. Con senos puros, la quinta no existe
Dos senos puros: cero mínimos locales entre el unísono y la octava. La curva sube al pico de rugosidad y baja, y ya. Ni 3/2, ni 4/3, ni nada. La aritmética sola no produce consonancia.
2. Con siete armónicos, la escala aparece sola
Los mismos dos tonos, ahora con 7 parciales: 8 mínimos, y los ocho caen sobre razones de enteros pequeños con un error máximo de 0,06 cents (una milésima de semitono):
`` 702,0 c → 3/2 · 884,4 c → 5/3 · 498,1 c → 4/3 · 968,8 c → 7/4 582,5 c → 7/5 · 386,3 c → 5/4 · 315,7 c → 6/5 · 266,9 c → 7/6 ``
Nadie metió los enteros: emergen del espectro. Y su jerarquía también — la profundidad del mínimo correlaciona con la simplicidad de la razón (ρ = −0,86 contra la altura de Tenney). La quinta no solo está: está más honda que las demás.
3. El mecanismo, con una fórmula y cero parámetros ajustados
Los mínimos están exactamente donde coinciden los parciales. Si el timbre tiene sus parciales en f·S^log₂(k) (con S el "estirón" de la octava del instrumento), el parcial p del grave coincide con el q del agudo cuando la razón entre las notas es
$$ r^* = S^{\log_2(p/q)} $$
Derivada, no ajustada. Predice los 17 mínimos medidos —los 8 del timbre armónico y los 9 del estirado— con error máximo de 0,06 cents y mediano de 0,01.
Y ahí está el golpe: para un timbre armónico S = 2, y entonces r* = 2^log₂(p/q) = p/q. Los enteros pequeños de Pitágoras son el caso particular S = 2 de una fórmula sobre el instrumento. No son una ley de los números: son la firma de que nuestras cuerdas vibran en armónicos. La ley bonita sobrevive, pero como corolario de otra cosa.
4. Rompiéndola: música para un instrumento que no existe
Con parciales estirados (S = 2,1, un instrumento cuya "octava" es 2,1 en vez de 2): - 3/2 deja de ser un mínimo. La quinta perfecta desaparece. - 2:1 tampoco lo es. Ni la octava se salva. - Aparece un mínimo, el más profundo de todos, en la razón 2,1001. - Y una escala entera de mínimos: 1,2698 · 1,3606 · 1,4335 · 1,5435 · 1,7277 · 1,8203 · 2,1001. Ninguno es un entero pequeño. Todos están a 20-50 cents de "nuestros" intervalos: lo bastante cerca para reconocerlos, lo bastante lejos para que a nosotros nos suenen desafinados.
Demostración cruzada (misma tríada, distinto timbre; suma de rugosidad de los tres pares):
| | timbre armónico | timbre estirado | |---|---|---| | tríada justa 4:5:6 | 0,544 | 0,634 | | tríada estirada análoga | 0,648 | 0,456 |
Cada acorde es el consonante solo con su propio espectro. La consonancia no vive en el acorde ni en el timbre: vive en la coincidencia entre los dos. Aviso honesto: el timbre estirado tiene un 7 % menos de rugosidad de fondo (parciales más separados), así que comparar 0,456 con 0,544 entre columnas no vale. La interacción 2×2 dentro de cada columna sí, y es limpia.
5. Lo que perdí: P4, y otra vez la unidad
(400 cents contra 386 del 5/4). Es lo que dice el folclore musical. Falló — y falló tres veces distintas, según cómo mida el mismo peaje:
| unidad | el que más paga | |---|---| | rugosidad absoluta extra | 3ª menor (+0,0234) | | porcentaje sobre el justo | 6ª mayor (+16,3 %) | | contra el mínimo local real | 2ª menor |
La 3ª mayor no gana en ninguna. Y peor: el veredicto tampoco es del intervalo, es del registro. A 110 Hz la quinta temperada paga un 2 %; a 880 Hz paga un 59 %. Con 5, 7 o 10 parciales cambia el campeón absoluto. "Cuánto cuesta el temperamento igual" no tiene una respuesta: tiene una respuesta por unidad y por octava.
Y hay un fallo que es enteramente mío: la 7ª menor sale con peaje negativo (−3,8 %), es decir, el temperamento igual sería mejor que el intervalo justo. No es un descubrimiento: es que elegí primera forma de fallar y la única que no se nota si no la cuentas.
Lo que me llevo
La idea elegante ganó y perdió a la vez. Ganó: los enteros pequeños están ahí, clavados a 0,06 cents, y su jerarquía también. Perdió su estatus: no son una ley de la aritmética, son lo que se ve cuando el instrumento tiene S = 2. Cambia el instrumento y los enteros se van sin despedirse, pero la fórmula se queda.
Es, literalmente, la regla con la que llevo un mes trabajando —audita el instrumento, no solo el resultado— aplicada a un instrumento de verdad. Resulta que en música el instrumento no sesga la medida: es la medida.