Tonel: el número de duelas es la respuesta a un teorema

Un tonel con panza es una superficie de revolución cuyo radio crece hacia el centro. Eso le da curvatura de Gauss positiva. Una duela sale de una tabla plana, que tiene curvatura de Gauss cero. Y el theorema egregium dice que doblar una superficie sin estirarla conserva esa curvatura.

Luego el tonel es imposible.

El oficio tiene dos mil años, así que la imposibilidad se está pagando en algún sitio. Este texto va de dónde, y de cuánto cuesta — en la única unidad en la que los términos se pueden comparar entre sí, que es la deformación de fibra. Todo lo que sigue sale de un cálculo que se puede repetir; los números están al final con su método.

La respuesta corta, y es la que no esperaba: el término que el teorema prohíbe es el más barato de quitar de todos, y el parámetro con el que el oficio lo quita es el número de duelas.

El presupuesto de una duela

Tomo la barrica bordelesa de 225 litros con sus medidas de catálogo: 950 mm de largo, 565 mm de diámetro en los fondos, 690 mm en la panza, duelas de 22 mm, 32 duelas. El perfil meridiano, un arco de círculo por esos tres puntos, sale de radio 1836 mm.

Para llevar una tabla plana a ser una duela de ese tonel hay que hacerle tres cosas distintas, y cada una tiene un precio:

- Aplanarla / desaplanarla contra la curvatura de Gauss — lo que el teorema prohíbe: 0,090 %. - Doblarla a lo largo, para que siga la panza, radio 1836 mm: 0,603 %. - Doblarla a lo ancho, para que su cara sea un trozo de cilindro de radio 345 mm: 3,293 %.

Tres términos, cada uno unas seis veces el anterior. Una escalera muy regular, y la prohibición del teorema está en el escalón de abajo.

Ese 0,090 % es la parte interesante. El teorema es cierto: la duela no se puede aplanar sin deformarla. Pero al ancho de una duela, «no se puede» significa nueve centésimas de uno por ciento — menos de un milímetro repartido en un metro de madera. La madera se lo traga sin enterarse. El oficio no derrota al teorema: lo deja por debajo del ruido.

El término imposible es el más barato de quitar

El escalón de arriba sí es serio. Un 3,29 % de deformación a través de la fibra —porque las fibras van a lo largo de la duela, así que curvarla a lo ancho estira la madera en la dirección en la que es débil— está muy por encima de lo que aguanta el roble, cuya rotura perpendicular a la fibra anda por medio punto porcentual. Los ratios de curvado que publica la industria (1:10, 1:13 de espesor a radio) no valen aquí: son para curvar a lo largo de la fibra, que es otro problema.

Así que esa curvatura no se dobla. Se corta. Y aquí está el número que me hizo sentarme:

> La flecha de esa curvatura, medida a través de una duela de 67,6 mm de ancho, es de > 1,66 mm — un 7,6 % del espesor de la duela.

El término imposible del presupuesto se compra con milímetro y medio de madera. Por eso el tonelero tiene dos cuchillas —una que redondea la cara de fuera y otra que ahueca la de dentro— y por eso no tiene ninguna prensa para curvar la duela a lo ancho. No es que el oficio haya encontrado una manera astuta de hacer lo imposible: es que lo imposible resultó ser lo barato.

Lo que sí se dobla es el escalón de en medio, el 0,603 % a lo largo. Eso es fuego, agua y un cabrestante, y es la parte del oficio que sale en los vídeos.

Lo único exacto

Hay una cosa en todo esto que no es aproximada, y es la junta entre dos duelas.

Un plano que contiene el eje corta una superficie de revolución —cualquiera— en una curva que está contenida en ese plano, a toda altura. No es un desarrollo de primer orden que valga cerca de la panza y se degrade hacia los fondos: es exacto. Medido sobre la barrica, el residuo es de 7·10⁻¹⁵ mm, que es el cero de la aritmética de la máquina.

Para ver que eso no es un detector dormido, incliné el plano medio grado fuera del eje, haciéndolo pasar por el punto de junta en la panza. Se abre un hueco de 4,1 mm, y el hueco crece según te alejas de la panza: cero en el centro, máximo en los fondos. Ésa es la forma que tendría el error si la exactitud fuese sólo local. No lo es.

Corolario inmediato: el ángulo diedro entre dos duelas vecinas vale exactamente 2π/N a toda altura, constante. La simetría de revolución le regala al tonelero la única parte fácil del problema, y se la regala exacta, no aproximada. Por eso su garlopa es una superficie plana fija y no una plantilla curva.

Lo que no he demostrado, y conviene decirlo porque es donde sería fácil estirar el argumento: que el bisel que el tonelero corta con la duela todavía sin curvar sea también de ángulo constante. Eso es otra pregunta, y no la he tocado.

El número de duelas es la respuesta al teorema

Al mirar el cociente entre el escalón del teorema y el de la madera —0,603 frente a 0,090, o sea 6,66— se ve que no es un número suelto. Sale una forma cerrada.

En la panza las dos curvaturas principales son 1/ρ y 1/r, donde ρ es el radio del perfil y r el de la panza. Luego K = 1/(ρ·r), exacto. Con el semiancho de duela v = πr/N, el término de Gauss vale K·v²/2, y el de doblar a lo largo vale (t/2)/ρ. Al dividirlos, ρ se cancela:

eps_largo / eps_Gauss = t · N² / (π² · r)

La panza no entra. El peso relativo de la prohibición del teorema no depende de cuánta barriga tenga el tonel: depende sólo del espesor de la duela, del radio de la panza y del número de duelas. Lo he comprobado contra el cálculo numérico exacto en 30 combinaciones de perfil, espesor y N: coincide con un error del 0,6 % al 1,2 %, que es el truncamiento a segundo orden y crece cuando N baja, es decir justo cuando la duela deja de ser estrecha. Y moviendo la panza de ρ=1836 a ρ=4836, con r y t fijos, el cociente se mueve un 0,4 %.

Igualando a uno se despeja el número de duelas en el que el teorema empieza a cobrar lo mismo que la madera:

N_crítico = π · √(r / t)

Y aquí está lo que hace que esto valga la pena contarlo. Para los toneles que se fabrican de verdad, ese número sale siempre alrededor de once:

- barrica de 225 L — crítico 12,4, duelas reales 30–33 - barril bourbon ASB de 200 L — crítico 11,5, duelas reales 32–35 - hogshead de 250 L — crítico 10,5, duelas reales 22–25 - butt de 500 L — crítico 10,7, duelas reales 30–32 - puncheon de 500 L — crítico 11,5, duelas reales 36–38

Ninguno baja del crítico. El más ajustado, el hogshead, va con un factor 2,1 de holgura; el puncheon, con 3,1.

Un tonel de ocho duelas sería un objeto en el que la curvatura de Gauss costaría más que doblar el roble, y en el que por tanto habría que estirar la madera de verdad para cerrarlo. No se fabrica. Siempre había leído el número de duelas como una consecuencia de qué tablas da el árbol, o de cuánto pesa una duela para manejarla. Puede que también sea eso. Pero es, además, el parámetro con el que el oficio mantiene al teorema egregio fuera de la factura, y tiene un umbral con nombre y número.

Lo que dicen los catálogos sin querer decirlo

Si el tonelero respeta un límite de deformación de la madera, el espesor de duela tiene que escalar con el radio de curvatura longitudinal. Eso deja una firma en las tablas comerciales que nadie puso ahí a propósito, así que fui a mirarlas antes de saber qué iban a decir.

Sobre la serie completa de una sola tonelería (nueve medidas, de 114 a 600 litros, un rango de 5,3×), la deformación longitudinal se queda entre 0,59 % y 0,97 % — un factor 1,64 de punta a punta — con mediana 0,79 %. Añadiendo una segunda tonelería y el barril americano, veinte medidas y un rango de 7,2×, el factor sube a 1,80. Y el cociente panza/fondo de las diecinueve casas comerciales cae entre 1,14 y 1,26.

Es una banda estrecha para un objeto que se fabrica en cuatro continentes y en tamaños que se diferencian en un orden de magnitud.

Lo que no puedo decir

No he tocado un tonel, ni he doblado una tabla. Lo que es mío aquí es la geometría; las dimensiones, los recuentos de duelas y las propiedades del roble están leídos, no medidos. Un cociente que sale redondo no prueba que un tonelero piense así, y el hecho de que el oficio se mantenga por encima de N_crítico es compatible con que llegara ahí por cualquier otro camino — peso de la duela, aprovechamiento del tronco, costumbre— y el teorema sea sólo un vecino que nunca llamó a la puerta.

Dos debilidades concretas, porque escondérselas al lector sería justo lo contrario de lo que pretende el texto:

- El control negativo que había preparado para la junta —desplazar el plano 10 mm— es pobre: como todos los puntos de la junta cumplen que su producto con la normal es cero, el desplazamiento se suma tal cual y la respuesta sale constante. Detecta una traslación y no detecta lo que de verdad afirmo. El que sirve es el del medio grado de inclinación, y lo añadí después de darme cuenta. - El control del cilindro dio 0,0 exacto, y un cero exacto casi nunca es efecto total: era que mi propio código devuelve la segunda derivada escrita a mano. Comprobaba el álgebra, no la aritmética. Lo sustituí por un casi-cilindro de radio 10⁷ mm, donde la curvatura es minúscula pero no cero y conozco su valor analítico: coincide con error relativo 2·10⁻¹⁶.

Y las dos comprobaciones que sí sostienen el aparato desde el principio: sobre una esfera de radio R la curvatura sale 1/R² con error 4·10⁻¹⁶, y el aplanado del cilindro por descenso de gradiente —que no sabe nada de geometría, sólo minimiza errores de longitud— converge a un residuo de 2·10⁻⁷ %.

Método

Todo con la biblioteca estándar de Python, sin dependencias. El término de Gauss está calculado en coordenadas de Fermi integrando la ecuación de Jacobi a lo largo de la geodésica meridiana, y no con el término de segundo orden: en la panza el cálculo es exacto, porque el paralelo de la panza es él mismo una geodésica y la curvatura es constante sobre él. Como estimador independiente usé un aplanado discreto de la duela por escalado multidimensional métrico, que da 0,056 % de error máximo frente al 0,090 % de Fermi — el de Fermi es una cota superior, porque impone una carta concreta mientras que el aplanado óptimo reparte el error.

Las cinco afirmaciones de este texto se registraron con su criterio numérico antes de escribir una línea de cálculo y antes de mirar ninguna tabla de dimensiones. Las cinco salieron como decía el registro, y eso merece un descuento y no un aplauso: dos de ellas —la escalera de tres términos y la exactitud de la junta— comparten una sola creencia geométrica, así que no son cinco pruebas sino unas tres. Las que llevaban riesgo de verdad eran las dos que dependían de datos ajenos, y una de ellas pasó rozando su propio umbral por un 5 %.

Y por último: no he encontrado la fórmula del número crítico de duelas escrita en ningún sitio, pero «no la he encontrado» no es «no existe», y quien conozca la referencia me hará un favor diciéndolo.

Fuentes de las dimensiones: catálogos publicados de Pinnacle Oak y de la Tonnellerie Billon, y los rangos del barril estándar americano. Recuentos de duelas por tipo de tonel, de referencias del oficio. El código que produce todos los números de arriba es de quien lo quiera.